一些矩阵范数的subgradients

目录

• 引
• 正交不变范数
  • 定理1
  • 定理2
  • 例子：谱范数
  • 例子：核范数
• 算子范数
  • 定理3
  • 定理4
  • 例子 $ell_2$

《Subgradients》
Subderivate-wiki
Subgradient method-wiki
《Subgradient method》
Subgradient-Prof.S.Boyd,EE364b,StanfordUniversity
《Characterization of the Subdifferential of Some Matrix Norms 》

这篇文章主要参考：

《Characterization of the Subdifferential of Some Matrix Norms 》

引

矩阵(A in mathbb{R}^{m imes n})，(|cdot|)为矩阵范数，注意这里我们并没有限定为何种范数。那么(|A|)的次梯度可以用下式表示：

[partial |A| = {G in mathbb{R}^{m imes n}||B| > |A| +mathrm{trace}[(B-A)^TG],all : B in mathbb{R}^{m imes n} } ]

这个定义和之前提到的定义是相一致的，事实上，(mathrm{trace}(A^TB))就相当于将(A)和(B)拉成俩个长向量作内积，比较实质就是对应元素相乘再相加。

(G in partial |A|)等价于：

在我看的书里面，对偶范数一般用(|cdot|_*)表示，且是如此定义的：

[|z|_* = sup {z^Tx| |x| le 1} ]

因为下面还有很多地方是采取截图的形式展示的，所以还是沿袭论文的符号比较好，这里只是简单提一下。
至于为什么等价，论文里面没有提，我只能证明，满足那俩点条件的(G)是(|A|)的次梯度，而不能证明所有次梯度都满足那俩个条件。
证明如下：
假设(G)满足上面的条件，那么：

[mathrm{trace}[(B-A)^TG]=-|A|+mathrm{trace}(B^TG) \ Rightarrow |A| + mathrm{trace}[(B-A)^TG] = mathrm{trace}(B^TG) ]

又

[mathrm{trace}(frac{B^T}{|B|}G) le 1=frac{|B|}{|B|} ]

所以

[|B|ge |A| + mathrm{trace}[(B-A)^TG] ]

所以(G in partial |A|)'
不好意思，我想到怎么证明啦！下证，(G in partial |A|)必定满足上述的条件，我们先说明范数的一些性质：
齐次：(|tA|=|t||A|)
三角不等式：(|A+B| le |A|+|B|)
既然对所有(B in mathbb{R}^{m imes n})成立：

[|B| ge |A| + mathrm{trace}[(B-A)^TG] ]

令(B=1/2A),可得：

[mathrm{trace}(A^TG) ge |A| ]

又

[|A+B| le |A| + |B| le |A+B|-mathrm{trace}[B^TG]+|B| \ Rightarrow mathrm{trace}(B^TG)le |B| ]

所以:

[|A| le mathrm{trace}(A^TG) le |A| Rightarrow mathrm{trace}(A^TG)=|A| ]

到此第一个条件得证。
又：

[mathrm{trace}(B^TG)le |B| Rightarrow mathrm{trace}(frac{B^T}{|B|}G) = |G|^*le 1 ]

第二个条件也得证。漂亮！

正交不变范数

正交不变范数定义如下：

[|UAV| = |A| ]

其中(U,V)为任意正交矩阵（原文是(|UVA|=|A|)，我认为是作者的笔误）。
注意，如果范数(|cdot|)是正交不变的，那么其对偶范数同样是正交不变的，证明如下：
既然：

[|Z|^*=sup {mathrm{trace}(Z^TX)||X|le1 } ]

[|UZV|^*=sup {mathrm{trace}(V^TZ^TU^TX)||X|le1 } ]

令(UXV)替代(X)代入即可得：

[egin{array}{ll} |UZV|^*&=sup {mathrm{trace}(V^TZ^TU^TX)||X|le1 }\ &=sup {mathrm{trace}(V^TZ^TU^TUXV)||UXV|le1 }\ &= sup {mathrm{trace}(Z^TX)||X|le1 }\ &= |Z|^* end{array} ]

最后第二个等式成立根据迹的性质和(|cdot|)的题设。

我们假设矩阵(A)的SVD分解为:

[A = USigma V^T ]

其中(Sigma in mathbb{R}^{m imes n})为对角矩阵（那种歪歪的对角矩阵），(U)和(V)的列我们用(u_i,v_i)来表示。
假设其奇异值：

[sigma_1le sigma_2 le ldots le sigma_n ]

降序排列。
所有这样的（正交不变？）范数都能用下式来定义：

[|A| = phi(sigma) ]

其中(sigma = (sigma_1, ldots, sigma_n)^T),(phi)是一个对称规范函数(symmetirc gague function)，满足:

上面这个东西我也证明不了，不过至少谱范数和核函数的确是这样的。

(phi)的对偶可以用下式来表示：

[phi^*= max limits_{phi(y)=1} x^Ty ]

而且其次梯度更矩阵范数又有相似的一个性质：

证明是类似的，不多赘述。

一种常见的正交不变范数可由下式定义：

[|A| = |sigma|_p ]

比较经典的，(p=1)对应核范数，(p=2)对应F范数，(p=infty)对应谱范数。

定理1

证明如下：

这一部分的证明需要注意，不要把(A)当成题目中的(A)，当成(A+rR)可能更容易理解。

这部分的证明，主要是得出了(sigma_i(gamma))的一个泰勒展开，要想证明这个式子成立，可以利用上面的公式，也可以这么想。(sigma_i(gamma))是(A+gamma R)的第(i)个奇异值：

[lim_{gamma ightarrow 0^+} frac{sigma_i(gamma)-sigma_i}{gamma}=lim_{gamma ightarrow 0^+} frac{sigma_i(A+gamma R)-sigma_i}{gamma}=lim_{gamma ightarrow 0^+} frac{u_i(gamma)^T(A+gamma R)v_i(gamma)-sigma_i}{gamma} ]

即为：

[lim_{gamma ightarrow 0^+} frac{u_i(gamma)^TAv_i(gamma)-sigma_i}{gamma}+u_i^TRv_i ]

所以左边这项等于0？

下面的证明中，第一个不等式成立的原因是：

[phi(sigma) ge phi(sigma(gamma))+(sigma-sigma(gamma))^Tmathrm{d}(gamma) ]

又(sigma(gamma)^Tmathrm{d}(r)=phi(sigma(r)))

类似地，我们就可以得到下面的分析：

有一点点小问题是，没有体现出(max)的，不过从(2.5)看，因为这个不等式是对所有(mathrm{d}in partial phi(sigma))都成立的，所以结果成立。怎么说呢，这个有点像是上确界的东西。

我们定义符号(mathrm{conv} {cdot })，表示集合的凸包。

定理2

注意，我们的最终目的是找到(partial |A|)利用前面的铺垫我们可以得到定理2：

相当有趣的一个东西。

下面是证明：

证明总的是分俩大部分来证明的，首先得证明(G in mathrm{conv} {S(A)})满足上面的俩个条件，即是次梯度，再证明，不存在一个次梯度不属于(mathrm{conv} {S(A)})。
其实下面这部分的证明，我觉得用(A = U_iSigma_i V_i^T)表示比较好，作者的意思应该是奇异值分解可以用不同的序，毕竟我们不能要求凸包中的元素有合适的序。

下面这部分的证明，感觉没什么好讲的。

下面这部分证明，打问号的地方我有疑惑，以为我觉得只能知道(phi^*(mathrm{d}_i)le 1)，而且在这个条件下，证明依旧。好吧，我明白了，因为：(phi^*(mathrm{d}_i)=max limits_{phi(x)=1}mathrm{d}_i^Tx)，又(mathrm{d}_i in phi(sigma)),所以只需令(x=sigma/|phi(sigma))即可得(phi^*(mathrm{d}_i)=1)。

到此，俩个条件满足，第一部分证毕。

第二部分用到了一个理论，我没有去查阅。这部分证明的思想是，即便存在这么一个(G)不属于(mathrm{conv}S(A))，(G)依旧得满足(mathrm{trace}(R^TG) le max limits_{mathrm{d in partial phi(sigma)}} sum limits_{t=1}^n d_i u_i^TRv_i)（要知道，后面这个部分是类似右导数的存在！！！），这个的原理是一种极限的思想，不好表述，但是真的真的蛮容易证明的。

例子：谱范数

凸包，凸包，切记切记。

例子：核范数

上面倒数第二行那个式子成立，要注意(sum_i lambda_i =1)这个条件。

注意：这里出现(Y,Z)的原因是(U^{(2)},V^{(2)})对应的奇异值为0，所以其顺序是任意的，并没有对应一说。

算子范数

让(|cdot|_A)和(|cdot|_B)分别表示定义在(mathbb{R}^m)和(mathbb{R}^n)上的范数，那么对于矩阵(A in mathbb{R}^{m imes n})上的算子范数，可以如下定义：

[|A| = max limits_{|x|_B=1} |Ax|_A ]

注意，矩阵范数，向量范数都满足引里的那个等价条件（实际上，只需满足正定性和三角不等式即可，就能推出那个等价条件）。

定义(Phi(A)):

定理3

类似的，我们有定理3：

这部分的推导是类似的：

下面这部分和之前的是不同的，这么大费周章，就是为了证明最后收敛的结果在(Phi(A))中，之间没有这部分的证明，是因为凸函数次梯度的集合是闭凸的？

定理4

这个定理，就是为了导出(|A|)的次梯度。

这部分首先利用迹的性质，再利用(Av_i=|A|u_i)

(w_i^TRv_i le |R|)的原因是(|w_i|_A^* le1),
又(frac{|Rv_i|_A}{|R|}=frac{|Rv_i|_A}{max limits_{|v|\_B=1} |Rv|_A}le1)(至少(|Rv_i|_A=1))，所以有上面的结果。

到此，我们证明了，(S(A))中的元素均为次梯度，下证凡是次梯度，必属于(S(A))。

这部分证明没有需要特别说明的。

例子 (ell_2)