从这里回溯到此文章，这篇文章得作者是之前那篇文章的第三作者，里头提到的算法也及其相似，所以算是前者的基础吧。
Problem
这篇文章同样是关于PCA（在线或者说随机），试图寻找一个合适的(k-)维的子空间去压缩数据。
普通的PCA，是下面的这种形式：
但是因为这是一个非凸的问题，所以并不容易求解（特征分解然后去前k个主向量忽略，因为这时在线的或者说随机的）。
论文将这个问题进行了第一步放缩：
但是(rankM=k)这个条件依然不是凸的。
第二次放缩：
这一次问题和条件都是凸的了，所以这就是一个凸优化问题了。不过，作者刻意提及（3.1）的原因是，可以证明，(3.2)的最优解可以分解为（3.1）的解的凸线性组合[Warmuth, Kuzmin 2008]。
Matrix Stochastic Gradient
每一次迭代，都将进行下面的步骤：
算法(MSG)
步骤二和步骤四会在下面讲到，问题是步骤三上，我不明白为什么需要取个平均值，我感觉直接取最后一个矩阵M就可以了。
步骤二（单次迭代）
算法
每一次迭代，都会先对(M'+U'diag(sigma')(U')^{ op})进行特征分解，但是并不是直接分解，而是使用了一个技巧，姑且称之为单步SVD，这个分解方法会利用之前(M')的(U')的结果。
单步SVD
为了方便，我们令(eta = 1)且:
上面的算法就是先进行了单步SVD，然后再进行(project())。为什么要进行这个(project())呢，因为新的(M)并不满足（3.2）的(tr(M)=k)的条件，所以通过(project())，映射到一个新的矩阵。
这个矩阵是唯一的，且满足下面的性质:
- 迹为k，同时矩阵的特征向量和原来一样
- 最大特征值不会超过1
唯一性由下面这个引理给出
(project())算法
这个算法看起来复杂，但目的很单纯。
(sigma_1 quad sigma_2 : mathop{uparrow}limits^{i}: sigma_3ldotssigma_m :mathop{uparrow}limits^{j} : sigma_{m+1} quad sigma_{m+2} quad)
注意上面的(m+2)个奇异值(从小到大排列)，每个(sigma)对应一个代表其个数(kappa)。
(i,j)满足（i=0,1或者j=m+2为特殊情况）:
(sigma_{i-1} + S<0) (quad sigma_{j+1} + Sgeq 1)
(S)根据上面算法的式子算的，且可验证，这样的S是一定存在的。
则，进行下面操作:
小于(sigma_i)的奇异值截为0，大于等于(sigma_{j+1})的奇异值截为1，
其余的保持为(sigma+S)
就这么经过(T)步的岁月，(M)来到了生命的尽头，站在悬崖上，朝远处眺望，夕阳、红霞分外美丽：
“啊！我的迹是(k),可我的秩呢？”说罢，老泪纵横。
没错，辛苦了这么久，我们得到（3.2）的解，接下来，就需要(Rounding(M))使得迹为(k)的(M)的秩变为(k)，这个问题，在之前的论文也提到了，当时不清楚，现在，其实也不怎么清楚，但好歹有个了解，不过我保证我讲不清楚，如果真的想知道，还是看论文吧——这是一种分解方法。
(rounding())
来到：Here
Randomized Online PCA Algorithms with Regret Bounds that are Logarithmic in the Dimension
由Manfred K. Warmuth 和 Dima Kuzmi在08年发表的文章。
这篇论文挑个时间再好好看看吧，先把其中一部分在这里讲一下，但可能不对。
这里就只摆上三个算法吧。大概是这个意思，有个概率向量(mathsf{w}),每个分量表示舍弃该主成分的概率，但我们都知道，舍弃了一部分，就会产生误差，(mathbb{l})就表示这个损失，每个分量表示舍弃该成分的一个损失（貌似单位化了）。
每次(mathsf{w})都会更新，根据损失。
论文稍微改进了一下，就是将(mathsf{w})分解为(mathop{sum}limits_{i}p_ir_i)，每个(r_i)都有(n-k)个非零项(frac{1}{n-k})，这样，算法3就是先根据(p_i)采样到一个分解项(r_j)，(r_j)中的非零项，表示对应成分是要被舍弃的，根据损失，对(mathsf{w})进行更新，循环往复。
当然这个算法如何应用到矩阵的选择上，根据后面的描述，应该是利用SVD，然后将其中的对角序列，看成(mathsf{w})进行选择，不过具体的还没怎么看，到时候再说吧。