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题意:
掷一个正四面体骰子,记点数为(T)。
掷(T)个正六面体骰子,记点数和为(C)。
掷(C)个正八面体骰子,记点数和为(O)。
掷(O)个正十二面体骰子,记点数和为(D)。
掷(D)个正二十面体骰子,记点数和为(I)。
求(I)的方差,并将你的答案四舍五入到(4)位小数。
每个面出现的概率等价。
题解:
纵所周知,正(n)边形的骰子,掷骰子得到的期望点数可以定义为离散随机变量。
比如六面的骰子,每个面(1)~(6),每个面出现的概率等价。那么期望点数 (X = frac{(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)}{6} =frac{7}{2})。期望的方差就是 (Var(X) = sum_{i=1}^{6}frac{1}{6}(i-frac{7}{2})^2 = frac{35}{12})。
拓展一下,对于正(n)边形的骰子,每个面(1)~(n),期望点数(X)就是(X = frac{1}{n}sum_{i=1}^{n}i = frac{n+1}{2})。
期望方差就是 (Var(X) = E(X^2) - (E(X)^2) = frac{1}{n}sum_{i=1}^{n}i - (frac{1}{n}sum_{i=1}^{n}i)^2 = frac{(n+1)(2n+1)}{6} -(frac{n+1}{2})^2 = frac{n^2 - 1}{12})。
最后根据 the Law of Total Variance,即 (Var(I) = Var(E(I|D)) + E(Var(I|D))] = Var(D)E(d)E(d) +Var(d) E(D)) 就可以做出来啦。
代码:
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int dice[5] = {4,6,8,12,20};
//https://en.wikipedia.org/wiki/Variance
double E(int n)
{
return (n + 1) / 2.0;
}
double Var(int n)
{
return (n * n - 1) / 12.0;
}
int main(int argc, char const *argv[]) {
double e = 0.0 , var = 0.0;
double ed = 1.0, varsum = 0;
for(int i = 0; i < 5; i++) {
e = E(dice[i]);
var = Var(dice[i]);
varsum = varsum * e * e + var * ed;
ed = ed * e;
}
printf("%.4f
", varsum);
cerr << "Time elapsed: " << 1.0 * clock() / CLOCKS_PER_SEC << " s.
";
return 0;
}