题意：给定一个点，一个圆，以及一个矩形，现在问从一个点到一个圆再到一个矩形的最短距离为多少？到达一个目标可以只挨着或者穿过它。
解法：目前只知道从一个点到圆上按照[0,PI]，[PI,2*PI]的两个半圆进行划分确实是满足距离是一个凹函数，但是加上到矩形的距离后仍然满足三分性质则不知道怎么得到的。具体做法是先将整个坐标系平移使得圆心落在(0, 0)处，然后三分枚举圆上的点，距离由两部分组成，一部分是点到圆上点的距离，一部分是点到矩形的距离，后者转化为点到四条线段的距离求解。
代码如下：
#include <cstdlib> #include <cstring> #include <cstdio> #include <algorithm> #include <iostream> #include <cmath> using namespace std; const double eps = 1e-6; const double PI = acos(-1.0); double cx, cy, cr; // 圆的圆心以及半径 inline int sign(double x) { return x < -eps ? -1 : x > eps ? 1 : 0; } struct Point { double x, y; Point (double xx = 0, double yy = 0) : x(xx), y(yy) {} Point operator - (const Point &ot) const { // 两个点作差获得向量 return Point(x - ot.x , y - ot.y); } double operator * (const Point &ot) const { // 重载点积 return x * ot.x + y * ot.y; } double operator ^ (const Point &ot) const { // 重载叉积 return x * ot.y - y * ot.x; } bool operator < (const Point &ot) const { if (sign(x - ot.x)) { return sign(x - ot.x) < 0; // 首先按照横坐标排序 } else { // 然后按照纵坐标排序 return sign(y - ot.y) < 0; } } void show() { printf("x = %.2f, y = %.2f\n", x, y); } }; Point it, rp[4]; double dist(const Point &a, const Point &b) { return sqrt((a.x-b.x)*(a.x-b.x) + (a.y-b.y)*(a.y-b.y)); } double dtoL(const Point &np, const Point &st, const Point &ed) { // 点到线段的距离 double ret; if (sign((ed-st)*(np-st)) > 0 && sign((st-ed)*(np-ed) > 0)) { // 用来判定一个该点的投影在该线段上 ret = fabs((st-np)^(ed-np)) / dist(st, ed); } else { ret = min(dist(np, st), dist(np, ed)); // 点到两个端点的较小值 } return ret; } double dtoR(const Point &np) { // 到四条线段的最短距离 double d1 = min(dtoL(np, rp[0], rp[1]), dtoL(np, rp[0], rp[2])); double d2 = min(dtoL(np, rp[1], rp[3]), dtoL(np, rp[2], rp[3])); return min(d1, d2); } double tsearch(double l, double r) { double delta; while (r - l >= eps) { delta = (r - l) / 3.0; // delta表示是区间长度的1/3 Point Lp(cr*cos(l+delta), cr*sin(l+delta)); Point Rp(cr*cos(r-delta), cr*sin(r-delta)); double d1 = dist(it, Lp) + dtoR(Lp); double d2 = dist(it, Rp) + dtoR(Rp); if (sign(d1 - d2) > 0) { l += delta; } else { r -= delta; } } Point fp(cr*cos(r), cr*sin(r)); return dist(it, fp) + dtoR(fp); } void solve() { // 先三分[0, PI]，在三分[PI, 2*PI]内的角度 printf("%.2f\n", min(tsearch(0, PI), tsearch(PI, 2*PI))); } int main() { while (scanf("%lf %lf", &it.x, &it.y), sign(it.x) | sign(it.y)) { scanf("%lf %lf %lf", &cx, &cy, &cr); // 读取圆心坐标和半径 it.x -= cx, it.y -= cy; // 将圆心平移到源点，其余坐标均作出改变 scanf("%lf %lf", &rp[0].x, &rp[0].y); rp[0].x -= cx, rp[0].y -= cy; scanf("%lf %lf", &rp[1].x, &rp[1].y); rp[1].x -= cx, rp[1].y -= cy; rp[2].x = rp[0].x, rp[2].y = rp[1].y; rp[3].x = rp[1].x, rp[3].y = rp[0].y; sort(rp, rp+4); // 获得矩形的四个顶点，并排序，方便得到线段与点的关系 double t = sqrt(2.0) / 2; solve(); } return 0; }