本文将要讨论基于矩阵分解的推荐算法，这一类型的算法通常会有很高的预测精度，也活跃于各大推荐系统竞赛上面，前段时间的百度电影推荐最终结果的前10名貌似都是把矩阵分解作为一个单模型，最后各种ensemble，不知道正在进行的阿里推荐比赛(http://102.alibaba.com/competition/addDiscovery/index.htm)会不会惊喜出现。。。，闲话不扯了，本文打算写一篇该类型推荐算法的入门篇。
目录
一，基于矩阵分解的推荐算法相关理论介绍
二，C++代码实现
三，总结跟展望一下
四，后续计划
一，基于矩阵分解的推荐算法相关理论介绍
我们知道，要做推荐系统，最基本的一个数据就是，用户-物品的评分矩阵，如下图1所示
图1
矩阵中，描述了5个用户(U1,U2,U3,U4 ,U5)对4个物品(D1,D2,D3,D4)的评分(1-5分)，- 表示没有评分，现在目的是把没有评分的 给预测出来，然后按预测的分数高低，给用户进行推荐。
如何预测缺失的评分呢？对于缺失的评分，可以转化为基于机器学习的回归问题，也就是连续值的预测，对于矩阵分解有如下式子，R是类似图1的评分矩阵，假设N*M维(N表示行数，M表示列数)，可以分解为P跟Q矩阵，其中P矩阵维度N*K，P矩阵维度K*M。
式子1
对于P,Q矩阵的解释，直观上，P矩阵是N个用户对K个主题的关系，Q矩阵是K个主题跟M个物品的关系，至于K个主题具体是什么，在算法里面K是一个参数，需要调节的，通常10~100之间。
式子2
对于式子2的左边项，表示的是R^ 第i行，第j列的元素值，对于如何衡量，我们分解的好坏呢，式子3，给出了衡量标准，也就是损失函数，平方项损失，最后的目标，就是每一个元素(非缺失值)的e(i,j)的总和最小
式子3
OK，目前现在评分矩阵有了，损失函数也有了，该优化算法登场了，下面式子4是，基于梯度下降的优化算法，p,q里面的每个元素的更新方式
式子4
然而，机器学习算法都喜欢加一个正则项，这里面对式子3稍作修改，得到如下式子5，beita 是正则参数
式子5
相应的p,q矩阵各个元素的更新也换成了如下方式
式子6
至此，P,Q矩阵元素求出来了之后，计算某个用户i对某个物品j的评分计算就是
p(i,1)*q(1,j)+p(i,2)*q(2,j)+....+p(i,k)*q(k,j)。
二. C++代码实现
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
using namespace std;
void matrix_factorization(double *R,double *P,double *Q,int N,int M,int K,int steps=5000,float alpha=0.0002,float beta=0.02)
{
for(int step =0;step<steps;++step)
{
for(int i=0;i<N;++i)
{
for(int j =0; j < M; j++)
{
if(R[i*M+j] < 0)
{
//这里面的error 就是公式6里面的e(i,j)
double error = R[i*M+j];
for(int k=0;k < K;++k)
error -= P[i*K+k]*Q[k*M+j];
for(int k=0;k < K;++k)
{
P[i*K+k]+=alpha*(2*error*Q[k*M+j] - beta*P[i*K+k]);
Q[k*M+j]+=alpha*(2*error*P[i*K+k])-beta*
Q[k*M+j];
}
}
}
}
double loss =0;
for(int i=0; i < N; i++)
{
for(int j=0;j<M;++j)
{
if(R[i*M+j]<0)
{
double error = 0;
for(int k =0; k < K; k++)
error+=P[i*K+k]*Q[k*M+j];
loss +=pow(R[i*M+j]-error,2);
for(int k=0; k < K; k++)
loss+=(beta/2)*(pow(P[i*K+k],2)+pow(Q[k*M+j],2));
}
}
}
if(loss<0.001) break;
if(step%1000==0)
cout<<“loss:”<<loss<<endl;
}
}
int main()
{
int N=5; //用户数
int M=4; //物品数
int K=2; //主题个数
double *R = new double[N*M];
double *P = new double[N*K];
double *Q =new double[M*K];
R[0]=5,R[1]=3,R[2]=0,R[3]=1,R[4]=4,R[5]=0,R[6]=0,R[7]=1,R[8]=1,R[9]=1;
R[10]=0,R[11]=5,R[12]=1,R[13]=0,R[14]=0,R[15]=4,R[16]=0,R[17]=1,R[18]=5,R[19]=4;
cout<<"R矩阵"<<endl;
for(int i = 0; i<N ;i++)
{
for(int j =0; j< M;j++)
cout<<R[i*M+j] <<',';
cout<<endl;
}
srand(1);
for(int i =0; i<N;i++)
for(int j =0; j<K;j++)
P[i*K+j] =rand()%9;
for(int i =0; i<K;i++)
for(int j =0; j<M;j++)
Q[i*M+j] = rand()%9;
cout<<"矩阵分解开始"<<endl;
matrix_factorization(R,P,Q,N,M,K);
cout<<"矩阵分解结束"<<endl;
cout<<"重构出来的R矩阵"<<endl;
for(int i =0; i<N; i++)
{
for(int j=0; j < M;j++)
{
double temp= 0;
for(int k=0; k < K; k++)
temp+=P[i*K+k]*Q[k*M+j];
cout<<temp <<' ,';
}
cout<<endl;
}
free(P),free(Q),free(R);
return 0;
}
三，展望
前两个部分，已经简单的介绍了最基本的基于矩阵分解的推荐算法，基于该算法的一些变种，类似svd++,pmf等，都是针对某一些特定的数据场景进行的一 些改进，那有没有统一的框架来整合这些场景呢？？前两年在KDDcup大赛，大出风头的Factorization Machine(FM)，其中FM的核心理论在于用Factorization来刻画feature跟feature之间的关系，如下面公式
<Vi,Vj> 正是刻画了xi,xj的关系，上面式子可以理解为FM=SVM+Factorization Methods，后续准备开一篇博文，来阐释FM模型，跟其作者开源的LibFM工具箱，最后贴一张八卦的图，图中讲的是 bickson（graphlab/graphchi的里面推荐工具包的作者），在一次会议上，对steffen（libfm的作者）问的一个问题
四，后续计划
1)，介绍FM模型
2)，LibFM源码剖析
参考资料
1)，bickson.blogspot.com/2012/08/steffen-rendle-libfm.html
2)，S. Rendle.Factorization machines.In Proceedings of the 10th IEEE International Conference on Data Mining. IEEE Computer Society, 2010.
3) http://www.quuxlabs.com/blog/2010/09/matrix-factorization-a-simple-tutorial-and-implementation-in-python/