吴恩达《机器学习》第二章：线性回归

目录

• 二、线性回归
• • 2.1 代价函数
  • 2.2 梯度下降算法

二、线性回归

实例：房价预测


线性回归

θ₀、θ₁为线性回归模型参数；

2.1 代价函数

代价函数：Cost Function，又称平方误差代价函数；对偏离真实值的输出给予较大的惩罚，其大小反映了拟合函数的精准度，值越小，精准度越高，误差越小；

最小化问题：目的是找到合适的θ₀、θ₁，使得 h_θ(x) 和 y 之间的差异小，即尽量较少假设的输出（估计值）与房子真实价格（真实值）之间的差的平方；

简化版的线性回归：
θ₀=0，保留θ₁这一个参数；

假设θ₁=1时：

假设θ₁=0.5时：

假设θ₁=0时：

       ~~~~~~       简化参数后，很容易看出：代价函数值越小，其对应的θ₁所确定的直线就越接近原曲线，拟合程度就越高；

Q：那么回到两个参数的线性回归中，又该如何确定？

两个模型参数，则可能得到以下代价函数取值图形：

因为两个θ才能确定一个代价，不过和一个参数一样，它们都是碗状的；

将3D图转化为等高线图展示：

       ~~~~~~       位于同一等高线的两点有着相同的代价函数值；想象这是一个碗，碗的底部就是这些椭圆的中心，由底部开始生长出碗，越外围，代价函数值越大；

       ~~~~~~       左边的图为 (800,-0.15) 对应的拟合直线，它并没有很好地拟合直线，因为它的代价函数值很大，距离碗底还很远；

       ~~~~~~       反观我们的目的就是设计出这样一种算法，它能够自动找出代价函数的最低点，那么就能得到θ₀和θ₁，从而确定拟合程度最好的拟合曲线，从而达到预测效果；下面就说如何设计这种算法！

2.2 梯度下降算法

梯度下降：Gradient descent，不仅适用于最小化线性回归中的代价函数J(θ)，还适用于其它很多领域，能够最小化很多函数；

       ~~~~~~       从不同的初始位置下山，找到的却是不同的局部最优解，这是梯度下降的一大特点；

学习率α：即下一步跨的幅度，学习率越大，跨得越大，同样精确度也会随之降低，容易陷入局部最优解；

下面开始解释公式中的 导数项/偏导数：

挺容易理解的，两边都是往谷底靠；
如果α太小，就需要一小步一小步地接近谷底；

如果α太大，就可能越过最低点（代价函数变得更糟），甚至可能无法收敛；

当它已经处在局部最优点时，它会一直保持在这个位置，因为后面导数项为 0，α*0=0；


       ~~~~~~       梯度下降的方式：越接近最低点，|斜率|越小，导数项也就越小，每次移动的步伐就会变小；所以，无需降低α的值来控制步伐；

不断重复直到收敛；
线性回归的代价函数总是一个弓状函数 – 凸函数 convex function；

它只存在全局最优解，不存在局部最优解的情况；

Batch Gradient Descent：梯度下降的每一步都使用所有的训练样本（全览整个数据集）