十二、支持向量机
12.1 优化目标
SVM：support vector machine；
把代价函数分成两部分，比如左边：hθ(X)=1/(1+e-z)，当z趋向于很大的数时，hθ(X)才能取到1；
支持向量机：
- 取出1/m，惯例不同而已，1/m不影响θ的结果；
这是支持向量机的总体代价函数：
12.2 大边界的直观理解
支持向量机=大间距分类器？
什么是向量机，我们如何理解它，有什么作用？
假设C非常大，那么我们优化代价函数只需将A部分尽力优化成0即可，那么可做出如下假设：
假设A被优化成0：
比如：
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未使用支持向量机时，决策边界可能是紫色的或者绿色的那条，可以看出它们非常贴近数据集；
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而使用支持向量机画出的决策边界的间距（黑色线），很明显拥有更大的间距，能够更好的夹在两个数据集中间；
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更大间距->更好的鲁棒性；
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当C非常大的时候，决策边界会对某个异常点敏感，比如没有左下角的红×时，决策边界是黑线，当加上那么一个异常点时，决策边界可能立马变为紫色的线；而这都是基于C很大的情况；
如果C很小，那么决策边界并不会对某个或者一些异常点敏感，比如上面正集混入一些负集等等，它还是能划出一条合理的分类边界；
所以C的取值问题才是SVM的核心，C取得不那么大时，才能既有大边界又能对某个/些异常数据不敏感；
12.3 数学背后的大边界分类
为什么这么优化呢？如何得到大间距分类器的？
更好地理解SVM；
欧几里得长度；
vTu内积=v在u上的投影长度*u的长度；
p是有符号的；
当C取很大得值时，A部分就要最小化为0，此时代价函数=1/2||θ||2；
~~~~~~
z=0时，假如边界函数如绿色线所示，θ与决策边界垂直，那么对于x(1)和x(2)，它们在θ上的投影长度都很小，那么为了满足条件p(i)·||θ|| ≥1或者p(i)·||θ||≤-1，则||θ||就要取很大的值，这与之前最小化代价函数（1/2||θ||2）相矛盾；
支持向量机试图让p(i)(训练样本到决策边界的距离)变得足够大，从而让θ的范数变小，最小化代价函数；
这就是SVM如何产生大间距分类现象的；
12.4 (高斯)核函数1
非线性决策边界
本节问题：
- 什么是高斯核函数？
- 运行机理
f(i)表示相似度；
相似度的度量=>相似函数=>核函数=>高斯核函数=>k(x,l(i))；
给定一标记点 l1，如果样本x距离 l1 近，那么这个f1的值接近于1，隔得越远，越接近0；
σ是高斯核函数的参数，σ越大收敛越慢；
12.5 (高斯)核函数2
本节问题：
- 如何求解这个相似方程？
- 标记点如何设置？
使用SVM+Kernels
有m个样本就选m个标记点；将计算出的m个相似度合成相似度向量 ( +f0 就是m+1维)；
低偏差、高方差就是图像有较大的斜率，不那么平滑；
高偏差、低方差就是图像较平滑；
高斯分布=>正态分布；
12.6 使用支持向量机
本节问题：
- 如何使用SVM软件进行求解；
- 如何选择一个合适的核函数；
支持向量机并不能很好的应用在逻辑回归；
C的选择、核函数的选择；
计算核函数的向量值；
进行特征缩放，放置特征中量级较大的特征过度影响||v||2；
核函数应该要满足的条件（并不是所有的函数都能作为核函数）：
Mercer定理；
其它核函数：
- 多项式核函数；一般表现较差 ，用的不多；
- 卡方核函数；
- 字符串核函数
- …
多分类问题：
SVM是一种凸优化，不用担心局部最优；
SVM比神经网络快，它是一种体系，一个有效的方法去学习复杂的非线性函数；