学了一下线性代数。
略作了解吧算是。
一、矩阵
1.定义：(A)表示一个有(n)行(m)列个数的矩阵。
(n=m)时也可称作方阵。
2.线代中的矩阵乘法
定义乘法符号为(*)
3.单位矩阵
不同的矩阵乘法定义出不同单位矩阵。
线代中的就是对交线为1，其余均为0的矩阵，称为(I)。
4.各种定义
(fr).(A^T)表示(A)的转置，相当于交换行列进行翻转。
同时有：$$AB=C
ightarrow A^TB^T=C^T$$
(se).(A^{-1})表示矩阵(A)的逆矩阵,有(A*B=I)。
求法：对(A)消元，同时对(I)进行同样的初等行列变换，最终(A
ightarrow I),(I
ightarrow A^{-1})
二、行列式
1.定义：
定义一个方阵(A={a_{ij}})的行列式为(left|a_{ij}
ight|)。
设一个长度为(n)的序列的排列为({p_i}),其逆序对个数为(sigma(p))。
行列式的值为：
上三角行列式的值为：
2.性质
然后就是几个性质：
(fr).行列互换不改变行列式的值
代入定义可以验证。
(se).交换两行/列，行列式的值取反。
证明：
引理：对于一个排列(p),交换两个位置，逆序对个数奇偶性取反。
假设我们交换的(a,b)是相邻的。
那么：(a<b)时逆序对+1，(a>b)时，逆序对-1，奇偶性必然改变。
现在的情况是有可能不相邻，那么可以认为是(a)右移，而(b)左移。
发现这个过程中，交换的次数一定是奇数次。
那么奇偶性改变的次数是奇数次，那么整个排列的逆序对奇偶性必然改变。
引理得证。
那么我们交换两行(i,j)其实就是相当于交换了(p_i)和(p_j)，也就是说(prod)后边的部分的值不改变。
所以改变的部分只有(sigma(p))，这会使得(-1)的正负取反，那么行列式的正负随之取反。
得证。
(th).将行列式的一行/列乘上常数(c)，行列式的值也乘上(c)。
代入定义可以验证。
(fo).将行列式的一行加到另一行上，行列式的值不变。
（抄一下大神风月马前卒的证明）
证明：
引理1：两行相同的行列式，值为0
行列式的每一项都存在一项值和他相反，因为交换(p_i,p_j)是只改变行列式的正负。
引理2：行列式的某一行(a_i=b_i+c_i)，我们可以只改变这一行，
使得：(left|C
ight|=left|A
ight|+left|B
ight|)
那么：对于两行(a,b),我们相当于加出了一个(c)出来。
也就是说变换之后的值(left|C
ight|=left|A
ight|+left|B
ight|)
这样的话，(A)中的存在两行是一样的，所以(left|A
ight|=0)。
而我们的(B)相当于是原方阵,而(left|C
ight|=left|B
ight|)
所以行列式的值不变。
也就是说，
对于行列式做初等行变换不会使得行列式的值发生变化，那么我们用高斯消元把方阵消成上三角即可求行列式的值了。
三、拉普拉斯展开
1.余子式：
设(M_{ij})为方阵(A)删掉第(i)行第(j)列后剩余的矩阵,也称作余子式。
2.伴随矩阵：
设一个矩阵(A)代数余子式为((-1)^{i+j}M_{ij})
那么伴随矩阵(A^{*})的每个位置上是这个位置的代数余子式。
如何求伴随矩阵呢？
有这样一个结论：
这样的话可以用矩阵求逆来求伴随矩阵
3.拉普拉斯展开：
不证了太难证了。
这相当于是求行列式的递归形式。
有什么用呢？
这可以让我们求出伴随矩阵之后，任意的修改矩阵的某一行然后(O(n))的算出矩阵的行列式。
四、矩阵树定理(参考露迭月)
1.基尔霍夫矩阵
对于一个无自环无向图(G)。
设：
那么基尔霍夫矩阵(K(G)=D(G)-A(G))
(|K(G)|=0)
发现行和为0，消元作初等行变换，而由于行和均为0，所以不改变行和，那么(K(G)_{nn})必然为0，行列式也为0。
2.矩阵树定理
一个无自环无向图(G)，设其余子式为(M_{ij})。
其生成树个数为：(left|M_{ij}
ight|)
五、特征多项式
1.Cayley−Hamilton定理
对于一个(n)阶方阵(A)，其特征多项式为：
不会证（bushi）。
2.求特征多项式
我们得到的特征多项式有n项，我们只需要得到n+1个点值即可。
每次代入不同的(lambda)然后消行列式得到点值，然后用拉格朗日插值插出这个多项式即可。