各种数：伯努利数，斯特林数，二项式系数及其恒等式。（至少...知道是什么）
各种反演：二项式反演,莫比乌斯反演，MinMax容斥（至少会背公式）
各种卷积：卷积，狄利克雷卷积，子集卷积，集合并卷积，集合交卷积，集合对称卷积（至少明白是什么意思）
这几天比较系统的学了一下微积分和导数（其实是高考课课余没事干和不想在机房颓废。。
一、导数
其实就是个变化率的问题。
我们设一个函数$f(x)$的导数为$D[f(x)]$
那么：
$$D[f(x)]=lim_{Delta x ightarrow 0}frac{f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x}$$
导数是这样用的。
$$f(x+Delta x)=f(x)+D[f(x)]Delta x$$
然后写一些常用的求导公式。
1.$$f(x)=ax+b$$
$$egin{array}{rcl}D[f(x)]&=&lim_{Delta x ightarrow 0}frac{f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x}\&=&lim_{Delta x ightarrow 0}frac{ax+b+aDelta x - (ax+b)}{Delta x}\&=&lim_{Delta x ightarrow 0}frac{aDelta x}{Delta x}=aend{array}$$
2.$$f(x)=x^n$$
$$egin{array}{rcl}D[f(x)]&=&lim_{Delta x ightarrow 0}frac{f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x}\&=&lim_{Delta x ightarrow 0}frac{(x+Delta x)^n-x^n}{Delta x}\&=&lim_{Delta x ightarrow 0}frac{sumlimits_{i=0}^{n}C_n^i x^i{Delta x}^{n-i}-x^n}{Delta x}\&=&lim_{Delta x ightarrow 0}sumlimits_{i=0}^{n-1}C_n^i{Delta x}^{n-i-1}x^i\&=&nx^{n-1}end{array}$$
关于三角函数，我们知道：
$$lim_{x ightarrow 0}sin(x)=x$$
$$lim_{x ightarrow 0}cos(x)=1$$
3.$$f(x)=sin(ax+b)$$
$$egin{array}{rcl}D[f(x)]&=&lim_{Delta x ightarrow 0}frac{f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x}\&=&lim_{Delta x ightarrow 0}frac{sin(a(x+Delta x)+b)-sin(ax+b)}{Delta x}\&=&lim_{Delta x ightarrow 0}frac{sin(ax+b)cos(aDelta x)+cos(ax+b)sin(aDelta x)-sin(ax+b)}{Delta x}\&=&lim_{Delta x ightarrow 0}frac{sin(ax+b)-sin(ax+b)+aDelta x cos(ax+b)}{Delta x}\&=&acos(ax+b)end{array}$$
4.$$f(x)=cos(ax+b)$$
$$egin{array}{rcl}D[f(x)]&=&lim_{Delta x ightarrow 0}frac{f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x}\&=&lim_{Delta x ightarrow 0}frac{cos(a(x+Delta x)+b)-cos(ax+b)}{Delta x}\&=&lim_{Delta x ightarrow 0}frac{cos(ax+b)cos(aDelta x)-sin(ax+b)sin(aDelta x)-cos(ax+b)}{Delta x}\&=&lim_{Delta x ightarrow 0}-frac{sin(ax+b)aDelta x}{Delta x}\&=&-asin(ax+b)end{array}$$
我们知道$e$的定义式是：
$$e=lim_{n ightarrow infty}(1+frac{1}{n})^{n}$$
5.$$f(x)=a^x$$
$$egin{array}{rcl}D[f(x)]&=&lim_{Delta x ightarrow 0}frac{a^{x+Delta x}-a^x}{Delta x}\&=&lim_{Delta x ightarrow 0}frac{a^x(a^{Delta x}-1)}{Delta x}\&=&lim_{Delta x ightarrow 0}frac{a^x}{frac{1}{(a^{Delta x}-1)}log_a((a^{Delta x}-1)+1)}\&=&lim_{Delta x ightarrow 0}frac{a^x}{{log_a(1+(a^{Delta x}-1))}^{frac{1}{a^{Delta x}-1}}}\&=&frac{a^x}{log_a(e)}\&=&a^xln aend{array}$$
6.$$f(x)=log_ax$$
$$egin{array}{rcl}D[f(x)]&=&lim_{Delta x ightarrow 0}frac{log_a(x+Delta x)-log_a(x)}{Delta x}\&=&lim_{Delta x ightarrow 0}frac{frac{x}{Delta x}log_a(frac{x+Delta x}{x})}{x}\&=&lim_{Delta x ightarrow 0}frac{log_a(1+frac{Delta x}{x})^{frac{x}{Delta x}}}{xlog_aa}\&=&frac{log_ae}{xlog_aa}\&=&frac{1}{xlna}end{array}$$
7.导数运算法则：
$$D[cf(x)]=cD[f(x)]$$
$$D[f(x)+g(x)]=D[f(x)]+D[g(x)]$$
$$D[f(x)-g(x)]=D[f(x)]-D[g(x)]$$
加减不证明了。太显然了。。
主要证明一下乘除和复合函数。
$$egin{array}{rcl}D[f(x)g(x)]&=&frac{f(x+Delta x)g(x+Delta x)-f(x)g(x)}{Delta x}\&=&frac{(f(x)+D[f(x)]Delta x)(g(x)+D[g(x)](Delta x))-f(x)g(x)}{Delta x}\&=&frac{f(x)g(x)+f(x)D[g(x)]Delta x + D[f(x)]g(x)Delta x - f(x)g(x)+D[g(x)]D[f(x)]{Delta x}^2}{Delta x}\&=&frac{f(x)D[g(x)]Delta x + D[f(x)]g(x)Delta x + D[g(x)]D[f(x)]{Delta x}^2}{Delta x}\&=&D[f(x)]g(x)+f(x)D[g(x)]end{array}$$
$$egin{array}{rcl}D[frac{f(x)}{g(x)}]&=&frac{frac{f(x+Delta x)}{g(x+Delta x)}-frac{f(x)}{g(x)}}{Delta x}\&=&frac{frac{f(x)+D[f(x)]Delta x}{g(x)+D[g(x)]Delta x}-frac{f(x)}{g(x)}}{Delta x}\&=&frac{g(x)(f(x)+D[f(x)]Delta x)-f(x)(g(x)+D[g(x)]Delta x)}{(g(x)+D[g(x)]Delta x)g(x)Delta x}\&=&frac{D[f(x)]g(x)-f(x)D[g(x)]}{g^2(x)+D[g(x)]Delta x g(x)}\&=&frac{D(f(x))g(x)-f(x)D[g(x)]}{g^2(x)}end{array}$$
设$D[f[g(x)]]$为函数$f$在$g(x)$处的导数，区别于$D[f(g(x))]$,$D[f(g(x))]$为函数$f(g(x))$的导数。
$$egin{array}{rcl}D[f(g(x))]&=&frac{f(g(x+Delta x))-f(g(x))}{Delta x}\&=&frac{f(g(x)+Delta xD[g(x)])-f(g(x))}{Delta x}\&=&frac{f(g(x))+D[f[g(x)]]Delta xD[g(x)]-f(g(x))}{Delta x}\&=&D[f[g(x)]]D[g(x)]end{array}$$
二、不定积分
就是导数的逆运算。
即对于给定的$f(x)$
如果$F(x)$满足：
$$D[F(x)]=f(x)$$
求$F(x)$的过程。
常用的是幂函数，如果$f(x)=ax^k$
那么：
$$F(x)=frac{a}{k+1}x^{k+1}$$
其他的我也不会。
三、定积分
简单来说定积分用来求一个函数关于某条轴的面积大小。
比如说：
$$int_a^b f(x)dx$$就是函数$f(x)$关于$x$轴的积分。
我们发现定积分的一些基本运算法则。
$$int_a^b (f(x)+g(x))dx=int_a^b f(x)dx+int_a^b g(x)dx$$
$$int_a^b Cf(x)dx=Cint_a^b f(x)dx$$
$$int_a^b f(x)dx=int_a^c f(x)dx+int_c^b f(x)dx$$
$$int_a^a f(x)dx=0$$
$$int_a^b f(x)dx=-int_b^a f(x)dx$$
微积分基本定理：
设$$D[F(x)]=f(x)$$
那么：
$$int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)=F(x)mid_a^b$$