$P3092 [USACO13NOV]$没有找零

#$Description$ [题面](https://www.luogu.org/problem/P3092) 有$n(n<=1e5)$个商品和$k(k<=16)$个硬币，给定每个硬币的面额和商品价格，要求按照顺序购买商品，每次可以拿出一个硬币，购买从上次结算到现在的所有物品（前提是可以支付得起），不会找零，求最优方案使得最终剩余的面额和尽可能大 #$Solution$ 一道看起来比较简单~~但实际上就是很简单~~的题，中午硬是没想出来，下午才有了思路，过掉了这道题真是一道降智好题比较显然的是需要对硬币使用情况状态压缩一开始的想法是设$dp[i][j]$表示硬币使用情况是$i$时，当前考虑到$j$，剩余$dp[i][j]$，也记不太清了，总之有很多思路，但是多半没法转移或者会$MLE$。结果我下午才发现我是个傻子，注意到题目中一条性质是不能找零，所以我们知道买完所有商品时硬币的使用情况，也就知道剩余的面额和了，所以不需要用$dp[i][j]$表示剩余面额。

那么换种思路，因为题目中提到按照顺序买，所以设(dp[i])为选择状态为(i)时买到的右边界，转移过程大概为枚举状态，枚举哪颗硬币，再枚举买完后的右边界，检验是否合法，取(max)即可。但这样做(O(nSk)),妥妥(TLE)，考虑预处理每个位置每颗硬币最远买到什么地方，直接(O(Sk))转移即可。而预处理的过程可以(O(nk))解决，总复杂度可以接受。

为什么对于一种硬币，尽可能往后买的贪心是对的呢，还是基于题目的性质，不能找零，当这个硬币用掉不管买多少答案都会减去这个硬币的面值，不如让他买的尽可能多，这样才有可能让后面的硬币省下来。

(Code)

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define re register
#define maxn 100010
using namespace std;
inline int read()
{
	int x=0,f=1; char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
	return x*f;
}
int k,n,w[20],c[maxn],sumc[maxn],pos[maxn][20],MAX; 
int dp[maxn],val[maxn],sums,ans;
void work(int x)
{
	int r=1,l=1;
	while(r<=n)
	{
		while(sumc[r]-sumc[l-1]>w[x]) //这里注意写while，因为有可能加入一个后好几个区间都超过了面额 
		{
			pos[l][x]=r-1;
			l++;
		}
		r++;
	}
	while(sumc[r]-sumc[l-1]>w[x]) 
	{
		pos[l][x]=r-1;
		l++;
	}//调整 
	for(re int i=l;i<=n;++i) pos[i][x]=n;//注意把后面没有处理的区间解决掉 
	
}
void pre()
{
	for(re int i=0;i<=MAX;++i)
	{
		int now=i,cnt=1;
		while(now)
		{
			if(now&1) val[i]+=w[cnt];
			now>>=1,cnt++;
		}
	}
}
int main()
{
    k=read(),n=read();
    MAX=(1<<k)-1;
    for(re int i=1;i<=k;++i) w[i]=read(),sums+=w[i];
    for(re int i=1;i<=n;++i) c[i]=read(),sumc[i]=sumc[i-1]+c[i];
    for(re int i=1;i<=k;++i) 
	work(i);
    pre();
    for(re int s=0;s<=MAX;++s)
    	for(re int i=1;i<=k;++i)
    	{
    		if(s&(1<<i-1)) continue;
    		dp[s|(1<<i-1)]=max(dp[s|(1<<i-1)],pos[dp[s]+1][i]);
		}
	ans=0x3f3f3f3f;
	for(re int s=0;s<=MAX;++s)
	{
		if(dp[s]==n) ans=min(ans,val[s]);
	}
	if(ans==0x3f3f3f3f) printf("-1
");
    else printf("%d
",sums-ans);
	return 0;
}