题库源自《小学生最爱的100个数学游戏》
001 水多还是白酒多
桌上放着两个相同大小的瓶子，一瓶装着白酒，一瓶装香水，两个瓶子里的液体一样多。如果用小勺从第一个瓶子中取出一勺白酒，倒入第二个瓶子中，搅匀后，再从第二个瓶子中取一勺混合液，倒回第一个瓶子中。那么此时是白酒中的水多，还是水中的白酒多呢？
设桌上左边有白酒，右边有香水，简称水。假设白酒和水的体积都是(V)，每次一勺可以舀出(V_0)的液体。
第一次，左边的液体中有(V-V_0)的液体，右边有(V+V_0)的液体，水的体积分数为(frac{V}{V+V_0})，酒的体积分数为(frac{V_0}{V+V_0})。
第二次，从右边取出(V_0)的液体，其中含有(frac{VV_0}{V+V_0})的水，有(frac{V_0^2}{V+V_0})的酒。左边的总体积变为(V)，其中有水(frac{VV_0}{V+V_0}),有酒(V-V_0+frac{V_0^2}{V+V_0}=frac{V^2-V_0^2+V_0^2}{V+V_0}=frac{V^2}{V+V_0})；同理计算右边，有水(V-frac{VV_0}{V+V_0}=frac{V^2+VV_0-VV_0}{V+V_0}=frac{V^2}{V+V_0})，有酒(V_0-frac{V_0^2}{V+V_0}=frac{VV_0+V_0^2-V_0^2}{V+V_0}=frac{VV_0}{V+V_0})。
不妨记(p = frac{V^2}{V+V_0})，(q = frac{VV_0}{V+V_0})，则左边有q体积的水，p体积的酒；右边有p体积的水，q体积的酒。此时无论如何理解题意，都有：水中的白酒和白酒中的水一样多。
279 最大的数
用三个9能写出来的最大的数是多少？
题目给出的标答是(9^{9^{9}})，并且说还没有人去计算过它的值。不过如果你想计算它的后(100)位的值，这里给出一个思路：
其中(varphi(100)=40)。通过两次快速幂即可解决本题。
而且，(phi(n) < n)一定成立。哪怕是询问(9^{9^{9^{cdots}}})的前(100)位，我们可以先预处理出(1sim 100)内的所有(varphi)值，然后迭代使用快速幂即可完成此题。
不得不说，学OI还是解决了我童年的一大困惑。
通过各种数论定理，对于任何一个有表达式的数，人们几乎都可以算出其中的某几位，比如说前(100)位。
另外，这道题其实快要过时了。现在小学生OI强者相当多，说不定计算机科学普及后，这种问题根本就是小儿科呢。
031 消失的一元钱
3个人住宿时，每人十元，将30元交给服务员后，再由服务员交到会计那里去。会计给打了个折找回了5元。服务员从中私吞了2元，只给他们3元。
3人分3元，每人退回1元，合计每人附了9元，加载一起一共27元，再加上服务员私吞的2元，一共29元。怎么也与付账的钱对不上。
那么，是哪里出了问题呢？
我们可以将原题目符号化：
3个人住宿时，每人p元，将3p元交给服务员后，再由服务员交到会计那里去。会计给打了个折找回了q元。服务员从中私吞了e元，只给他们q-e元。
3人分q-e元，每人退回(q-e)/3元，合计每人附了p-(q-e)/3元，加载一起一共3p-q+e元，再加上服务员私吞的e元，一共3p-q+2e元。怎么也与付账的钱对不上。
那么，是哪里出了问题呢？
带入p=10,q=5,e=2,得到3p-q+2e=30-5+4=29。
问题一目了然 。