P4822 [BJWC2012]冻结

题目背景

“我要成为魔法少女！”

“那么，以灵魂为代价，你希望得到什么？”

“我要将有关魔法和奇迹的一切，封印于卡片之中„„”

在这个愿望被实现以后的世界里，人们享受着魔法卡片（SpellCard，又名符卡）带来的便捷。

现在，不需要立下契约也可以使用魔法了！你还不来试一试？

比如，我们在魔法百科全书（Encyclopedia of Spells）里用“freeze”作为关键字来查询，会有很多有趣的结果。

例如，我们熟知的 Cirno，她的冰冻魔法当然会有对应的 SpellCard 了。当然，更加令人惊讶的是，居然有冻结时间的魔法，Cirno 的冻青蛙比起这些来真是小巫见大巫了。

这说明之前的世界中有很多魔法少女曾许下控制时间的愿望，比如 Akemi Homura、Sakuya Izayoi、……

当然，在本题中我们并不是要来研究历史的，而是研究魔法的应用。

题目描述

我们考虑最简单的旅行问题吧：现在这个大陆上有N $个城市，$ M条双向的道路。城市编号为1~N,，我们在1 $号城市，需要到$ N号城市，怎样才能最快地到达呢？

这不就是最短路问题吗？我们都知道可以用 Dijkstra、Bellman-Ford、Floyd-Warshall等算法来解决。

现在，我们一共有K张可以使时间变慢 50%的 SpellCard，也就是说，在通过某条路径时，我们可以选择使用一张卡片，这样，我们通过这一条道路的时间就可以减少到原先的一半。需要注意的是：

在一条道路上最多只能使用一张 SpellCard。
使用一张SpellCard 只在一条道路上起作用。
你不必使用完所有的 SpellCard。

给定以上的信息，你的任务是：求出在可以使用这不超过K张时间减速的 SpellCard 之情形下，从城市

输入格式

输出格式

输出一个整数，表示从1号城市到N号城市的最小用时。

输入输出样例

输入 #1

输出 #1

说明/提示

样例 1 解释

在不使用 SpellCard 时，最短路为1→2→4，总时间为 10。现在我们可以使用 1 次 SpellCard，那么我们将通过2→4这条道路的时间减半，此时总时间为7。

数据规模与约定

对于100%的数据，保证：

1<=K<=N<=50,M<=10³.

1<=Ai,Bi<=N,2<=Timei<=2×10³.

为保证答案为整数，保证所有的Timei均为偶数。

所有数据中的无向图保证无自环、重边，且是连通的。

分析

这道题是一道裸的分层图，每一层的建图和原图一样，层与层之间的建图：

i+1层与i层：

u到v‘应该建一条t/2的边，在跑一边spfa就行了

由于最终结束的N结点在哪一层，for循环跑一边min就行了

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e7;
int n,m,k;
int x,y,t;
int head[N],cnt;
int dis[N];
bool vis[N];

struct edge{
    int to;
    int ne;
    int t;
}e[N*2];

void add(int u,int v,int t){
    e[++cnt].to = v;
    e[cnt].ne = head[u];
    e[cnt].t = t;
    head[u] = cnt;
}

void spfa(){
    memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
    queue<int>q;
    q.push(1);
    dis[1] = 0;
    vis[1] = 1;
    while(!q.empty()){
        int f = q.front();
        q.pop();
        vis[f] = 0;
        for(int i = head[f];i;i = e[i].ne){
            int v = e[i].to;
            if(dis[v] > dis[f] + e[i].t){
                dis[v] = dis[f] + e[i].t;
                if(!vis[v]){
                    q.push(v);
                    vis[v] = 1;
                }
            }
        }
    }
}

int main(){
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    for(int i = 1;i <= m;i++){
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&t);
        for(int j = 0;j <= k;j++){
            add(x+j*n,y+j*n,t);
            add(y+j*n,x+j*n,t);
        }
        for(int j = 0;j < k;j++){
            add(x+j*n,y+n*(j+1),t/2);
            add(y+j*n,x+n*(j+1),t/2);
        }
    }
    spfa();
    int ans = 0x3f3f3f3f;
    for(int i = 0;i <= k;i++)ans = min(ans,dis[n+n*i]);
    printf("%d",ans);
    return 0;
}