Tarjan求割点

概述

在一个无向图中，若删除某个点u后连通分量数目增加，则称点u为该无向图的一个割点(cut vertex)

引理

无向连通图DFS树

从一个节点出发进行DFS，将后访问的结点设为前访问结点的孩子，DFS经过的边叫做DFS树的树边(tree edge)，第一次处理时从后代(descendant)指向祖先(ancestor)的边叫做返祖边(back edge)

无向连通图的DFS树只存在树边和返祖边，不存在前向边(forward edge)和横叉边(cress edge)（在有向弱连通图中会讲到，前向边是结点指向其非孩子后代的边，横叉边是从一个子树指向另一个子树的边）

证：1、不存在回边：无向图的边无方向，故不存在回边（无重边时）

2、不存在横叉边：假设有横叉边(u,v)，假设u比v先访问，则DFS是一定会通过u访问到v，进而访问到它的祖先及子树（貌似不是很严谨？）

定义

dfn[u]表示进入结点u的时间（相对时间戳）

low[u]表示点u及其后代通过返祖边可以访问到的dfn值最小（高度最高）的结点的dfn值

算法

从起点开始DFS
访问一个节点，初始化其dfn值和low值均为当前时间戳（每个结点初始化可以到达dfn指最小（高度最高）的结点是自己）
枚举与当前结点相连的目标结点
1. 若目标结点已访问过（是当前结点的祖先），更新当前结点的low值（low[u]=min(low[u],dfn[v])）
2. 若目标结点未访问过（是当前结点的孩子），则对目标结点DFS，并在回溯后用目标结点的low值更新当前结点的low值（low[u]=min(low[u],low[v])）
判断当前结点是否为割点
1. 若当前结点为根节点，当且仅当当前结点有不少于两个子树时当前结点为割点
2. 若当前结点为非根节点，当且仅当当前结点有不少于一个孩子的low值不小于当前结点的dfn值

理解

若当前结点为根节点，当且仅当当前结点有不少于两个子树时当前结点为割点

因为无向连通图的DFS树无横叉边，所以显然当根节点有不少于两个子树时当前结点为割点

若当前结点为非根节点，当且仅当当前结点有不少于一个孩子的low值不小于当前结点的dfn值

若孩子的low值小于当前结点的dfn值，说明上（当前结点的祖先）下（当前结点的后代）在树边之外有边相连，删去当前结点仍连通（不增加连通分量的数量）。因为每个子树均独立，所以当且仅当当前结点至少有一个孩子的low值≥当前结点的dfn值时，当前结点为割点

此处用图象记忆可以加强理解且不易写错

模板

洛谷P3388

写代码的时候有个2小tips：

对于每个结点，我们只需要当前结点的low值和其子树中结点的low值，且low值是不断向上（由孩子到父亲）更新的，所以我们不需要将low值存放在数组中，只需要写成DFS返回值即可。
判断一个节点有没有访问过，只需要看其dfn值是否为0，为0则为访问过，不为0则访问过（置过时间戳）

另外模板中无向图不一定连通，所以要将所有的节点都扫描一遍，从未访问过结点的开始DFS即可

代码如下：

 1 #include<cstdio>
 2 #include<algorithm>
 3 using namespace std;
 4 int dfn[1000001];//保存时间戳 
 5 int dfs_clock;//当前时间 
 6 int ans[1000001],num;//保存答案 
 7 struct edge
 8 {
 9     int to,pre;
10 }edges[2000001];
11 int head[1000001],tot;//邻接矩阵存图 
12 int tarjan(int x,int fa)//tarjan求割点 
13 {
14     int lowu=dfn[x]=++dfs_clock;//初始化low和dfn 
15     int child=0,pd=0;//孩子数，是否有子树的low值不小于当前结点的dfn值 
16     for(int i=head[x];i;i=edges[i].pre)//扫描所有的边 
17         if(!dfn[edges[i].to])//目标结点未访问过（树边） 
18         {
19             ++child;
20             int lowv=tarjan(edges[i].to,x);//目标结点的low值 
21             if(lowv>=dfn[x])//目标结点low不小于当前结点dfn，当前结点是割点 
22                 pd=1;
23             lowu=min(lowu,lowv);//更新lowu 
24         }
25         else if(edges[i].to!=fa)//目标结点未访问过（返祖边） 
26             lowu=min(lowu,dfn[edges[i].to]);
27     if(x==fa&&child>1)//根节点的子树不少于2个 
28         ans[++num]=x;
29     else if(x!=fa&&pd)//非根节点至少有一个子树low值不小于当前结点的dfn值 
30         ans[++num]=x;
31     return lowu;
32 }
33 void add(int x,int y)//邻接表存边 
34 {
35     edges[++tot].to=y;
36     edges[tot].pre=head[x];
37     head[x]=tot;
38 }
39 int main()
40 {
41     int n,m;
42     scanf("%d%d",&n,&m);
43     for(int i=1;i<=m;i++)
44     {
45         int x,y;
46         scanf("%d%d",&x,&y);
47         add(x,y),add(y,x);
48     }
49     for(int i=1;i<=n;i++)//遍历n个点tarjan 
50         if(!dfn[i])
51             tarjan(i,i);
52     sort(ans+1,ans+1+num);
53     printf("%d
",num);
54     for(int i=1;i<=num;i++)
55         printf("%d ",ans[i]);
56     printf("
");
57     return 0;
58 }

割点模板

洛谷的数据范围有毒！n,m不止10^5！大家打模板时要把数组开成10^6！