树（自由树）、无序树和有根树
自由树就是一个无回路的连通图（没有确定根）(在自由树中选定一顶点做根，则成为一棵通常的树)。
从根开始，为每个顶点(在树中通常称作结点)的孩子规定从左到右的次序，则它就成为一棵有序树。
在图的应用中，我们常常需要求给定图的一个子图，使该子图是一棵树。
生成树
1、生成树
如果连通图G的一个子图是一棵包含G的所有顶点的树，则该子图称为G的生成树(SpanningTree)。
生成树是连通图的包含图中的所有顶点的极小连通子图。
图的生成树不惟一。从不同的顶点出发进行遍历，可以得到不同的生成树。
2、深度优先生成树和广度优先生成树
（1）生成树的求解方法
设图G=(V，E)是一个具有n个顶点的连通图。则从G的任一顶点（源点）出发，作一次深度优先搜索（广度优先搜索），搜索到的n个顶点和搜索过程中从一个已访问过的顶点vi搜索到一个未曾访问过的邻接点vj，所经过的边(vi，vj)（共n-1条）组成的极小连通子图就是生成树。（源点是生成树的根）
通常，由深度优先搜索得到的生成树称为深度优先生成树，简称为DFS生成树；由广度优先搜索得到的生成树称为广度优先生成树，简称为BPS生成树。
（2）求DFS生成树和BFS生成树算法
只要在DFS(或DFSM)算法的if语句中，在递归调用语句之前加入适当生成边(vi，vj)的操作(如将该边输出或保存)，即可得到求DFS生成树的算法。
在BFS(或BFSM)算法的if语句中，加入生成树边(vi，vj)的操作，可得到求BFS生成树的算法。【参见练习】
注意：
①图的广度优先生成树的树高不会超过该图其它生成树的高度
②图的生成树不惟一，从不同的顶点出发进行遍历，可以得到不同的生成树。
3、生成树的通用定义
若从图的某顶点出发，可以系统地访问到图中所有顶点，则遍历时经过的边和图的所有顶点所构成的子图，称作该图的生成树。（此定义不仅仅适用于无向图，对有向图同样适用。）
（1）若G是强连通的有向图，则从其中任一顶点v出发，都可以访问遍G中的所有顶点，从而得到以v为根的生成树。
（2）若G是有根的有向图，设根为v，则从根v出发可以完成对G的遍历，得到G的以v为根的生成树。
（3）若G是非连通的无向图，则要若干次从外部调用DFS(或BFS)算法，才能完成对G的遍历。每一次外部调用，只能访问到G的一个连通分量的顶点集，这些顶点和遍历时所经过的边构成了该连通分量的一棵DFS(或BPS)生成树。G的各个连通分量的DFS(或BFS)生成树组成了G的DFS(或BFS)生成森林。
（4）若G是非强连通的有向图，且源点又不是有向图的根，则遍历时一般也只能得到该有向图的生成森林。
5、普里姆(Prim)算法
（1）算法思想
T=(U，TE)是存放MST的集合。
①T的初值是({r}，￠)
即最小生成树初始时只有一个红点r，没有红边。
②T经过n-1次如下步骤操作，最后得到一棵含n个顶点，n-1条边的最小生成树
⒈选择紫边集中一条轻边并扩充进T
⒉将轻边连接的蓝点改红点
⒊将轻边改红边
⒋修改紫边集
（2）较小紫边集的构造
若当前形成的T中有k个顶点，|U|=k，|V-u|=n-k，故可能的紫边数目是k(n-k)。从如此大的紫边集中选择轻边是低效的。因此，必须构造较小的紫边集。
对于每个蓝点v ∈V-U，从v到各红点的紫边中，只有最短的那一条才有可能是轻边。因此，只须保留所有n-k个蓝点所关联的最短紫边作为轻边的候选集即可。
（3）候选紫边集合的修改
当把轻边(u，v)扩充到T时，因为v由蓝变红，故对每个剩余的蓝点j，边(v，j)就由非紫边变为紫边，这条新紫边的长度可能小于蓝点j原来所关联的最短紫边的长度。因此，用长度更小的新紫边取代那些原有的最短紫边。
（4）Prim算法的伪代码描述
PrimMST(G，T，r){
//求图G的以r为根的MST，结果放在T=(U，TE)中
InitCandidateSet(…)；//初始化：设置初始的轻边候选集，并置T=({r}，￠)
for(k=0；k<n-1；k++){ //求T的n-1条树边
(u，v)=SelectLiShtEdge(…)；//选取轻边(u，v)；
T←T∪{(u，v)}；//扩充T，即(u，v)涂红加入TE，蓝点v并人红点集U
ModifyCandidateSet(…)； //根据新红点v调整候选轻边集
}
}
（5） 算法的执行过程
用PRIM算法得到最小生成树的过程【参见动画演示】
注意：
若候选轻边集中的轻边不止一条，可任选其中的一条扩充到T中。
连通网的最小生成树不一定是惟一的，但它们的权相等。
（6）算法特点
该算法的特点是当前形成的集合T始终是一棵树。将T中U和TE分别看作红点和红边集，V-U看作蓝点集。算法的每一步均是在连接红、蓝点集的紫边中选择一条轻边扩充进T中。MST性质保证了此边是安全的。T从任意的根r开始，并逐渐生长直至U=V，即T包含了 C中所有的顶点为止。MST性质确保此时的T是G的一棵MST。因为每次添加的边是使树中的权尽可能小，因此这是一种"贪心"的策略。
（7）算法分析
该算法的时间复杂度为O(n2)。与图中边数无关，该算法适合于稠密图。
（1）算法思想
①T的初始状态
只有n个顶点而无边的森林T=(V，￠ )
②按边长递增的顺序选择E中的n-1安全边(u，v)并加入T，生成MST
注意：
安全边指两个端点分别是森林T里两棵树中的顶点的边。加入安全边，可将森林中的两棵树连接成一棵更大的树
因为每一次添加到T中的边均是当前权值最小的安全边，MST性质也能保证最终的T是一棵最小生成树。
（2）算法特点
该算法的特点是：当前形成的集合T除最后的结果外，始终是一个森林。
（3）Kruskal算法的抽象描述
KruskalMST(G){//求连通网G的一棵MST
T=(V，￠)； //初始化，T是只含n个顶点不包含边的森林
依权值的递增序对E(G)中的边排序，并设结果在E[0..e-1]中
for(i=0;i<e;i++) { //e为图中边总数
取E[0．．e-1)中的第i条边(u，v)；
if u和v分别属于T中两棵不同的树then
T=T∪{(u，v)}；//(u，v)是安全边，将其加入T中
if T已是一棵生成树then
`` return T；
}//endfor
return T；
}
（4）用Kruskal算法构造最小生成树的过程
用Kruskal算法构造最小生成树的过程【参见动画演示】
（5）算法分析
该算法的时间复杂度为O(elge)。
Kruskal算法的时间主要取决于边数。它较适合于稀疏图。