BZOJ 2023 [Usaco2005 Nov]Ant Counting 数蚂蚁：dp【前缀和优化】

题目链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2023

题意：

　　有n个家族，共m只蚂蚁(n <= 1000, m <= 100000)。

　　每个家族有cnt[i]只蚂蚁，并且同一家族中的蚂蚁无差别。

　　从窝里爬出来x只蚂蚁的方案数为f(x)。

　　给定a,b，让你求 ∑ f(a to b) MOD 1000000。

题解：

　　表示状态：

　　　　dp[i][j] = combinations

　　　　i：第i个家族已经考虑过了

　　　　j：目前出来了j只蚂蚁

　　找出答案：

　　　　ans = ∑ dp[n][a to b]

　　如何转移：

　　　　dp[i][j] = ∑ dp[i-1][j-k] (0 <= k <= cnt[i], j-k >= 0)

　　　　即：dp[i][j] = ∑ dp[i-1][max(0,j-cnt[i]) to j];

 

　　边界条件：

　　　　dp[0][0] = 1

　　　　others = 0

　　优化：

　　　　（1）裸dp时间复杂度为O(n * m^2) = 10^13，绝对炸了。。。

　　　　　　所以前缀和优化：求 ∑ dp[i-1][max(0,j-cnt[i]) to j]。

　　　　（2）裸dp空间复杂度为 n*m(Byte) = 95 MB > 64 MB，又炸了咋办。。。

　　　　　　滚动数组。因为dp[i][j]只会用到dp[i-1][...]。

AC Code:

// state expression:
// dp[i][j] = combinations
// i: considering ith group
// j: j ants have been outside
//
// find the answer:
// sigma dp[n][a to b]
//
// transferring:
// dp[i][j] = sigma dp[i-1][j-k] (0 <= k <= cnt[i], j-k >= 0)
//
// boundary:
// dp[0][0] = 1
// others = 0
#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MAX_N 1005
#define MAX_M 100005
#define MOD 1000000

using namespace std;

int n,m,a,b;
int ans=0;
int cnt[MAX_N];
int dp[2][MAX_M];
int sum[2][MAX_M];

void read()
{
    cin>>n>>m>>a>>b;
    memset(cnt,0,sizeof(cnt));
    int temp;
    for(int i=0;i<m;i++)
    {
        cin>>temp;
        cnt[temp]++;
    }
}

int cal_mod(int x)
{
    return (x%MOD+MOD)%MOD;
}

int cal_sum(int k,int x,int y)
{
    if(x==0) return cal_mod(sum[k&1][y]);
    return cal_mod(sum[k&1][y]-sum[k&1][x-1]);
}

void update_sum(int k,int x)
{
    if(x==0) sum[k&1][x]=cal_mod(dp[k&1][x]);
    else sum[k&1][x]=cal_mod(sum[k&1][x-1]+dp[k&1][x]);
}

void solve()
{
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    dp[0][0]=1;
    for(int i=0;i<=m;i++)
    {
        sum[0][i]=1;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=0;j<=m;j++)
        {
            dp[i&1][j]=cal_sum(i-1,max(0,j-cnt[i]),j);
            update_sum(i,j);
        }
    }
    for(int i=a;i<=b;i++)
    {
        ans=cal_mod(ans+dp[n&1][i]);
    }
}

void print()
{
    cout<<ans<<endl;
}

int main()
{
    read();
    solve();
    print();
}