连续时间信号的抽样及其重建
现研究一连续信号进行抽样转换为数字信号，经数字信号处理器(DSP)或计算机处理后，再进行重建的过程，具体过程如下：
其中采样/保持电路和A/D转换电路可以看做是一个理想抽样的过程，而D/A转换和平滑录播可以看做是一个理想内插的过程。
假设理想抽样信号为
[sum_{n=-infty}^{infty}delta(t-nT_s)
]
其中(T_s)为抽样的周期。那么模拟信号(x_a(t))经理想抽样后得到的抽样信号(hat{x}_a(t))为
[hat{x}_a(t)=x_a(t) cdot sum_{n=-infty}^{infty}delta(t-nT_s)
]
设信号(x_a(t))的傅里叶变换为(X_a(jOmega)),并且其最高频率为(Omega_m),现研究抽样信号(hat{x}_a(t))的傅里叶变换。
[egin{aligned}
hat{X}_a(jOmega)=F[hat{x}_a(t)]&=F[x_a(t) cdot sum_{n=-infty}^{infty}delta(t-nT_s)] \
&=frac{1}{2pi}X(jOmega)*frac{2pi}{T_s}sum_{n=-infty}^{infty}delta(Omega - nOmega_s) \
&=frac{1}{T_s}sum_{n=-infty}^{infty}X(j(Omega - nOmega_s))
end{aligned}
]
其中(Omega_s=frac{2pi}{T_s})。
从上式中就可以看出抽样信号的频谱是原信号频谱的周期延拓。
要保证频谱在周期延拓时不发生混叠，那么就要求
[Omega_s-Omega_mgeqOmega_m RightarrowOmega_sgeq2Omega_m
]
把(Omega_s=2Omega_m)称为奈奎斯特采样频率，这是频谱不发生混叠允许的最小采样频率，此时可以通过一低通滤波器将信号恢复出来，若频谱发生了混叠，则很难将信号重建出来。
考虑信号的重建，由频谱图可知，通过一低通滤波器即可将信号完全的恢复出来，假设以频率(Omega_s>2Omega_m)进行抽样，考虑这么一个低通滤波器：
其傅里叶反变换为
[h_{LP}(t)=sinc(frac{t}{T_s})
]
其中(sinc(t)=frac{sin(pi t)}{pi t})
由频谱关系知
[X(jOmega)=hat{X}_a(jOmega) cdot H_{LP}(jOmega)
]
所以
[egin{aligned}
x_a(t)&=hat{x}_a(t) * h_{LP}(t) \
&=x_a(t) cdot sum_{n=-infty}^{infty}delta(t-nT_s) * h_{LP}(t) \
&=sum_{n=-infty}^{infty}x_a(nT_s)delta(t-nT_s) *sinc(frac{t}{T_s}) \
&=sum_{n=-infty}^{infty}x_a(nT_s)sinc(frac{1}{T_s}(t-nT_s))
end{aligned}
]
这就是信号的重建，这个过程也被称为理想内插过程。