CF 1557 C. Moamen and XOR

C. Moamen and XOR

题目大意

给定(n,k)，要求创建一个(n)个数的数组(a)，满足(0 leq a_i < 2^k)，且(a_1 \,&\, a_2 \,&\, a_3 \,&\, ldots \,&\, a_n ge a_1 oplus a_2 oplus a_3 oplus ldots oplus a_n)，问方案数。

解题思路

简单(DP)。

从高位考虑，设(dp[i])表示前(i)位满足条件的方案数，根据(n)的奇偶性，考虑与结果第(i)位为(0)和(1)时的转移即可。

(n)为奇数
- 与结果第(i)位为(1)，则异或结果也为(1)，此时(dp[i] += dp[i - 1])
- 与结果第(i)位为(0)，则要使异或结果也为(0)，第(i)位填法有(C_n^0 + C_n^2 + C_n^4 + ... + C_n^{n-1} = 2^{n-1})，此时(dp[i] += 2^{n-1}dp[i - 1])
- 即(dp[i] = dp[i - 1] + 2^{n-1}dp[i-1])
(n)为偶数
- 与结果第(i)位为(1)，则异或结果为(0)，剩下(i-1)位随便填，此时(dp[i] += 2^{(i-1)n})
- 与结果第(i)位为(0)，则要使异或结果也为(0)，第(i)位填法有(C_n^0 + C_n^2 + C_n^4 + ... + C_n^{n - 2} = 2^{n-1} - 1)，此时(dp[i] += (2^{n-1} - 1) imes dp[i - 1])（除去(C_n^n)即全为1的填法，因为此时与结果为1)
- 即(dp[i] = 2^{(i-1)n} + (2^{n-1} - 1) imes dp[i-1])

神奇的代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;

template <typename T>
void read(T &x) {
    int s = 0, c = getchar();
    x = 0;
    while (isspace(c)) c = getchar();
    if (c == 45) s = 1, c = getchar();
    while (isdigit(c)) x = (x << 3) + (x << 1) + (c ^ 48), c = getchar();
    if (s) x = -x;
}

template <typename T, typename... rest>
void read(T &x, rest&... Rest) {
    read(x);
    read(Rest...);
}

template <typename T>
void write(T x, char c = ' ') {
    int b[40], l = 0;
    if (x < 0) putchar(45), x = -x;
    while (x > 0) b[l++] = x % 10, x /= 10;
    if (!l) putchar(48);
    while (l) putchar(b[--l] | 48);
    putchar(c);
}

const LL mo = 1e9 + 7;
const int N = 2e5 + 8;

int n, k;

LL dp[N], p2[N];

LL qpower(LL a, LL b){
    LL qwq = 1;
    while(b){
        if (b & 1)
            qwq = qwq * a % mo;
        a = a * a % mo;
        b >>= 1;
    }
    return qwq;
}

int main(void) {
    int kase; read(kase);
    p2[0] = 1;
    for(int i = 1; i < N; ++ i)
        p2[i] = p2[i - 1] * 2 % mo;
    for (int ii = 1; ii <= kase; ii++) {
        read(n, k);
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        dp[0] = 1;
        for(int i = 1; i <= k; ++ i)
            if (n & 1){
                dp[i] = (dp[i - 1] + p2[n - 1] * dp[i - 1] % mo) % mo;
            }else{
                dp[i] = (qpower(p2[i - 1], n) + (p2[n - 1] - 1) * dp[i - 1] % mo) % mo;
            }
        write(dp[k], '
');
    }
    return 0;
}