最长递增子序列

算法动态规划里的经典问题，爱奇艺的编程题，要求时间复杂度为O(n2)，空间复杂度为O(1)。首先，先讲一种比较简单的思想，就是先将一个序列排序，然后求两个序列的最长公共子序列，转化为LCS问题。

现在，来解这道题，解法是转载别人的，做一个整合吧。

• 动态规划：

一个各公司都喜欢拿来做面试笔试题的经典动态规划问题，互联网上也有很多文章对该问题进行讨论，但是我觉得对该问题的最关键的地方，这些讨论似乎都解释的不很清楚，让人心中不快，所以自己想彻底的搞一搞这个问题，希望能够将这个问题的细节之处都能够说清楚。

对于动态规划问题，往往存在递推解决方法，这个问题也不例外。要求长度为i的序列的Ai{a1,a2,……,ai}最长递增子序列，需要先求出序列Ai-1{a1,a2,……,ai-1}中以各元素(a1,a2,……,ai-1)作为最大元素的最长递增序列，然后把所有这些递增序列与ai比较，如果某个长度为m序列的末尾元素aj(j<i)比ai要小，则将元素ai加入这个递增子序列，得到一个新的长度为m+1的新序列，否则其长度不变，将处理后的所有i个序列的长度进行比较，其中最长的序列就是所求的最长递增子序列。举例说明，对于序列A{35, 36, 39, 3, 15, 27, 6, 42}当处理到第九个元素(27)时，以35， 36， 39， 3， 15， 27， 6为最末元素的最长递增序列分别为
    35
    35，36
    35，36，39
    3
    3，15
    3，15，27
    3，6
当新加入第10个元素42时，这些序列变为
    35，42
    35，36，42
    35，36，39，42，
    3，42
    3，15，42
    3，15，27，42
    3，6，42

这其中最长的递增序列为(35，36，39，42)和(3，15，27，42)，所以序列A的最长递增子序列的长度为4，同时在A中长度为4的递增子序列不止一个。

该算法的思想十分简单，如果要得出Ai序列的最长递增子序列，就需要计算出Ai-1的所有元素作为最大元素的最长递增序列，依次递推Ai-2，Ai-3，……，将此过程倒过来，即可得到递推算法，依次推出A1，A2，……，直到推出Ai为止，

代码如下

unsigned int LISS(const int array[], size_t length, int result[])
{
    unsigned int i, j, k, max;

    //变长数组参数，C99新特性，用于记录当前各元素作为最大元素的最长递增序列长度
    unsigned int liss[length];

    //前驱元素数组，记录当前以该元素作为最大元素的递增序列中该元素的前驱节点，用于打印序列用
    unsigned int pre[length];

    for(i = 0; i < length; ++i)
    {
        liss[i] = 1;
        pre[i] = i;
    }

    for(i = 1, max = 1, k = 0; i < length; ++i)
    {
        //找到以array[i]为最末元素的最长递增子序列
        for(j = 0; j < i; ++j)
        {
            //如果要求非递减子序列只需将array[j] < array[i]改成<=，
            //如果要求递减子序列只需改为>
            if(array[j] < array[i] && liss[j] + 1> liss[i])
            {
                liss[i] = liss[j] + 1;
                pre[i] = j;

                //得到当前最长递增子序列的长度，以及该子序列的最末元素的位置
                if(max < liss[i])
                {
                    max = liss[i];
                    k = i;
                }
            }
        }
    }

    //输出序列
    i = max - 1;

    while(pre[k] != k)
    {
        result[i--] = array[k];
        k = pre[k];
    }

    result[i] = array[k];

    return max;
}

 

该函数计算出长度为length的array的最长递增子序列的长度，作为返回值返回，实际序列保存在result数组中，该函数中使用到了C99变长数组参数特性（这个特性比较赞），不支持C99的同学们可以用malloc来申请函数里面的两个数组变量。

• 贪心+二分查找：

开辟一个栈，每次取栈顶元素s和读到的元素a做比较，如果a>s，  则加入栈；如果a<s，则二分查找栈中的比a大的第1个数，并替换。  最后序列长度为栈的长度。  
这也是很好理解的，对x和y，如果x<y且E[y]<E[x],用E[y]替换E[x],此时的最长序列长度没有改变但序列Q的''潜力''增大。  
举例：原序列为1，5，8，3，6，7  
栈为1，5，8，此时读到3，则用3替换5，得到栈中元素为1，3，8，  再读6，用6替换8，得到1，3，6，再读7，得到最终栈为1，3，6，7  ，最长递增子序列为长度4。 

第二种方法的时间复杂度平均为O(nlogn)。

#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;

char sub[10002];
int BinarySearch(char *arr,int len,char c)
{
    int low=0,high=len-1;
    while(low<=high)
{
    int mid=(low+high)>>1;
    if(c==arr[mid])
    return mid;
    else if(c>arr[mid]&&c<arr[mid+1])
    return mid+1;
    else if(c<arr[mid])
    high=mid-1;
    else
    low=mid+1;
}
    return -1;
}

    int main()
{
    int t;
    cin>>t;
    while(t--)
{
    string str;
    cin>>str;
    sub[0]=str[0];
    int size=1,len=str.size();
    for(int i=1;i<len;i++)
{
    if(str[i]>sub[size-1])
    sub[size++]=str[i];
   else
{
    int k=BinarySearch(sub,size,str[i]);
    if(k==-1)
    sub[0]=str[i];
else
    sub[k]=str[i];
}
}
    cout<<size<<endl;
}
    return 0;
}