【Dijkstra】

　　　　 myth_HG

定义

Dijkstra算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。注意该算法要求图中不存在负权边。

问题描述：在无向图 G=(V,E) 中，假设每条边 E[i] 的长度为 w[i]，找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。（单源最短路径）

算法描述

1)算法思想：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

算法步骤

a.初始时，S只包含源点，即S＝{v}，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，即:U={其余顶点}，若v与U中顶点u有边，则<u,v>正常有权值，若u不是v的出边邻接点，则<u,v>权值为∞。

b.从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。

c.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。

d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。

实例

对下图中的有向图，应用Dijkstra算法计算从源顶点1到其它顶点间最短路径的过程列在下表中。

模板

  1 #include <iostream>
  2 #include <cstring>
  3 #include <cstdlib>
  4 #include <cstdio>
  5 #include <queue>
  6 #include <vector>
  7 #include <algorithm>
  8 using namespace std;
  9 const int MAX_V = 505;
 10 const int inf = 0x3f3f3f3f;
 11 
 12 typedef pair<int, int> pii;
 13 struct Dijkstra                              //封装dijkstra算法
 14 {
 15     struct Edge                       //定义边的结构体
 16     {
 17         int from, to, cost;
 18         Edge() {}
 19         Edge(int a, int b, int c) : from(a), to(b), cost(c) {}
 20     };
 21     int n, m;
 22     vector<Edge> G[MAX_V];             //边集合
 23     bool vis[MAX_V];
 24     int d[MAX_V];
 25     int prev[MAX_V];
 26     void init(int n)                //初始化，清空邻接表和边集合
 27     {
 28         this->n = n;
 29         for(int i = 0; i <= n; i++)
 30         {
 31             G[i].clear();
 32         }
 33     }
 34     void add(int from, int to, int dist)     //建图
 35     {
 36         G[from].push_back(Edge(from,to,dist));
 37     }
 38     void dijkstra(int s)
 39     {
 40         priority_queue<pii, vector<pii>, greater<pii> > q;
 41         memset(d, inf, sizeof(d));
 42         memset(prev, -1, sizeof(prev));
 43         d[s] = 0;
 44         q.push(pii(0, s));
 45 
 46         while(!q.empty())
 47         {
 48             pii p = q.top();    q.pop();
 49             int v = p.second;
 50             if(d[v] < p.first) continue;
 51             for(int i = 0; i < G[v].size(); i++)
 52             {
 53                 Edge e = G[v][i];
 54                 if(d[e.to] > d[e.from]+e.cost)
 55                 {
 56                     d[e.to] = d[e.from]+e.cost;
 57                     q.push(pii(d[e.to], e.to));
 58                     prev[e.to] = e.from;
 59                 }
 60             }
 61         }
 62     }
 63     vector<int> Get_Path(int t)
 64     {
 65         vector<int> path;
 66         for(; t != -1; t = prev[t])
 67             path.push_back(t);
 68         reverse(path.begin(), path.end());
 69         return path;
 70     }
 71 } D;
 72 
 73 
 74 int main()
 75 {
 76     int T;
 77     scanf("%d", &T);
 78     for(int kase = 1; kase <= T; kase++)
 79     {
 80         int V, E;
 81         scanf("%d%d", &V, &E);
 82         D.init(V);
 83         for(int i = 0; i < E; i++)
 84         {
 85             int u, v, w;
 86             scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
 87             D.add(u, v, w);     D.add(v, u, w);
 88         }
 89         int t; scanf("%d", &t);
 90         D.dijkstra(t);
 91         printf("Case %d:
", kase);
 92         vector<int> path = D.Get_Path(0);
 93 
 94         for(int i = 0; i < V; i++)
 95         {
 96             if(D.d[i] >= inf)
 97                 printf("Impossible
");
 98             else
 99                 printf("%d
", D.d[i]);
100         }
101     }
102     return 0;
103 }

封装到class中

STL priority_queue实现：复杂度O（|E|·log|V|）

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstring>
 3 #include <cstdlib>
 4 #include <cstdio>
 5 #include <queue>
 6 #include <vector>
 7 #include <algorithm>
 8 using namespace std;
 9 const int MAX_V = 505;
10 const int inf = 0x3f3f3f3f;
11 int d[MAX_V];
12 int used[MAX_V];
13 int cost[MAX_V][MAX_V];
14 int prev[MAX_V];
15 int V, E;
16 
17 void Dijkstra(int s) //Source is the source,M is the number of point;
18 {
19     memset(used, 0, sizeof(used));
20     memset(prev, -1, sizeof(prev));
21     memset(d, inf, sizeof(d));
22     d[s] = 0;
23 
24     while(true)
25     {
26         int v = -1;
27         for(int u = 0; u < V; u++)
28         {
29             if(!used[u] && (v == -1 || d[u] < d[v])) v = u;
30         }
31         if(v == -1) break;
32         used[v] = true;
33         for(int u = 0; u < V; u++)
34         {
35             int tmp = max(d[u], cost[v][u]);
36             d[u] = max(d[u], cost[v][u]);
37             prev[u] = v;
38         }
39     }
40 }
41 
42 vector<int> Get_Path(int t)
43 {
44     vector<int> path;
45     for(; t != -1; t = prev[t])
46         path.push_back(t);
47     reverse(path.begin(), path.end());
48     return path;
49 }

邻接矩阵

邻接矩阵实现：复杂度O（|V|²）