【BZOJ 1010】 [HNOI2008]玩具装箱toy （斜率优化）

1010: [HNOI2008]玩具装箱toy
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Description

　　P教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压
缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1...N的N件玩具，第i件玩具经过
压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容
器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一
个容器中，那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，
如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容
器，甚至超过L。但他希望费用最小.

Input

　　第一行输入两个整数N，L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7

Output

　　输出最小费用

Sample Input

5 4
3
4
2
1
4

Sample Output

1

【分析】

　　 f[i]=f[j]+(i-(j+1)+sum[i]-sum[j]-l)^2

　　　　设d[i]=sum[i]+i,d[j]=sum[j]+j,L=l+1

　　得 f[i]=f[j]+(d[i]-d[j]-L)^2

　　　　= (-2d[i]*d[j])+(f[j]+d[j]+2*d[j]*L)+(d[i]*d[i]-2*d[i]*L+L*L)

　　得出斜率优化标准式子，因为都是正数，d[i]递增，动态维护一个下凸包即可。

代码如下：

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstdlib>
 3 #include<cstring>
 4 #include<iostream>
 5 #include<algorithm>
 6 #include<queue>
 7 #include<cmath>
 8 using namespace std;
 9 #define Maxn 50010
10 #define LL long long
11 
12 LL c[Maxn],d[Maxn],f[Maxn];
13 struct node
14 {
15     LL x,y;
16 }t[Maxn];int len;
17 
18 LL n,l;
19 
20 void init()
21 {
22     scanf("%lld%lld",&n,&l);
23     for(int i=1;i<=n;i++)
24     {
25         scanf("%lld",&c[i]);
26         d[i]=d[i-1]+c[i]+1;
27     }
28     f[0]=0;d[0]=0;
29     // f[1]=(c[1]-l)*(c[1]-l);
30     l++;
31 }
32 
33 bool check(int x,int y,LL k)
34 {
35     return (t[y].y-t[x].y)<=k*(t[y].x-t[x].x);
36 }
37 
38 bool check2(int x,int y,int z)
39 {
40     return (t[z].y-t[y].y)*(t[y].x-t[x].x)<=(t[y].y-t[x].y)*(t[z].x-t[y].x);
41 }
42 
43 void ffind()
44 {
45     len=0;int st=1;
46     t[++len].x=0,t[len].y=0;
47     for(int i=1;i<=n;i++)
48     {
49         while(st<len&&check(st,st+1,2*d[i])) st++;
50         f[i]=-2*d[i]*t[st].x+t[st].y+d[i]*d[i]-2*d[i]*l+l*l;
51         t[0].x=d[i];t[0].y=f[i]+d[i]*d[i]+2*d[i]*l;
52         while(st<len&&check2(len-1,len,0)) 
53             len--;
54         t[++len]=t[0];
55     }
56     // for(int i=1;i<=n;i++) printf("%lld
",f[i]);
57     printf("%lld
",f[n]);
58 }
59 
60 int main()
61 {
62     init();
63     ffind();
64     return 0;
65 }

[BZOJ 1010]

2016-09-16 16:53:22