网友 dons222 在 反相吧 发的 《一个证实了#官科研究能力不如民科#的平面几何题案例》 https://tieba.baidu.com/p/7611385403 。
解题思路 ：
解法 1， 用 直角坐标系 的话， 可以 知道 直线 和 圆 相切 的 方程， 即 切线方程， 因为 两圆 相切 必然 在 切点 与 同一条 直线 相切， 所以 可以 根据 切线方程 列 两圆相切 的 方程 。
以此 为 基础， 可以 解 问题 1 问题 2 问题 3 。
解法 2， 用 极坐标系 表示 两圆 相切 比较简单， 设 圆 O1 半径 为 r1， 以 O1 为 原点 建立 极坐标系， O3 是 原点 外 圆 O1 内 的 一点， 坐标为 （ρ , θ）， 圆 O3 半径 为 r3， 若 ρ + r3 = r1， 则 圆 O3 内切于 圆 O1 。
同理， 以 O2 为 原点 建立 极坐标系， 若 ρ + r3 = r2， 则 圆 O3 内切于 圆 O2 。
于是 可 列 方程组 来 求 和 圆 O1 圆 O2 相切 的 O3，
ρ + r3 = r1
ρ + r3 = r2
但 这 两个 式子 里的 ρ 不是 同一个 ρ ， 一个 是 极坐标系 O1 里 的 ρ ， 另一个是 极坐标系 O2 里 的 ρ ， 所以，这里 要 推导 一个 极坐标系坐标变换公式， 把 O2 里的 ρ 变换成 O1 里的 ρ 来 列 方程 。
解法 1 和 解法 2 的 方程 都是 二次方程 或 四次方程 这一类 的 吧 。 解法 2 的 方程 会用到 极坐标系坐标变换公式 ， 应该含有 θ 的 三角函数 。
解 二次 或 更高次 的 方程组 即使 能 刚好 解出 根式解（代数解） ， 过程 应该 也 比较繁琐 吧 。
如果 不是 平时从事 这一类 课题研究 的 人， 做完 三个问题（小题） 要 一天， 要 搞清楚 有 几种解法， 把 这题 想的 比较 深入透彻， 要 三天 吧 。 这是 按 本科算（吧）， 本科以上 硕士博士 可能 第一天 做题 快一些， 但 要 想的比较 明白 还是 要 三天 的 。
其实 这么说 都是 太乐观 了， 大家 去 试试 一天 能不能 做完 一小题 ， 呵呵呵呵 。
这个 时间 是 按照 软件工程 估算 软件开发 人力 / 工程量 的 方法 来 估算的， 就是 写一个 程序 一个人 要 写 几天 ，或者 三个人 要 写 几天 ，或者 十个人 要 写 几天 。
软件开发 里， 经常 犯 的 失误 和 麻烦 就是 估算 工作量 过于乐观， 实际 需要 的 开发时间 往往 大于 估计时间 。
数学题 也一样， 比如 本题， 知道原理， 但 具体 的 推导计算 的 过程 的 工作量 也是 不可避免 的， 这些 工作量 都会 花费 时间 。
竞赛选手 在 竞赛状态 下， 两个小时 把 问题 1 问题 2 做完 应该 很不错了 吧 ？