网友 浩哥哥270 （爱手扶拖拉机） 在 民科吧 里 发了一个 帖 《今日份题目》 https://tieba.baidu.com/p/7557232964， 里面 有一些 极限题 ：
第 (1) 题 ， ( tan x - sin x ) / x ³ = tan x / x ³ - sin x / x ³ ，
当 x -> 0 时， sin x 和 x 是 等价无穷小， sin x / x = 1 ， sin x 和 x 可以约掉， 所以， 当 x -> 0 时， sin x / x ³ = 1 / x ² = 无穷 。
看 tan x / x ³ ， 当 x = 0 时， tan x = 0 ， x ³ = 0 ， 所以， 当 x -> 0 时， tan x / x ³ 是 0 / 0 型 极限，
用 洛必达法则 ，
tan x / x ³ , x -> 0
= ( tan x ) ′ / ( x ³ ) ′
( tan x ) ′
= ( sin x / cos x ) ′
= [ ( sin x ) ′ cos x - sin x ( cos x ) ′ ] / ( cos x ) ²
= [ ( cos x ) ² + ( sin x ) ² ] / ( cos x ) ²
= 1 / ( cos x ) ²
( x ³ ) ′ = 3 x ²
tan x / x ³ , x -> 0
= ( tan x ) ′ / ( x ³ ) ′
= [ 1 / ( cos x ) ² ] / ( 3 x ² )
= [ 1 / ( cos 0 ) ² ] / ( 3 * 0 ² )
= [ 1 / 1 ² ] / ( 3 * 0 ² )
= [ 1 / 1 ] / ( 3 * 0 )
= 1 / 0
= 无穷
上面说了， 当 x -> 0 时， sinx 和 x 是 等价无穷小， sin x / x = 1 ， 所以， 当 x -> 0 时， sin x / x ³ = 1 / x ² ，
于是，
( tan x - sin x ) / x ³ , x -> 0
= tan x / x ³ - sin x / x ³ ，
= [ 1 / ( cos x ) ² ] / 3 x ² - 1 / x ²
= 无穷 - 无穷
哎 ？ 无穷 - 无穷 = 什么 ？
可以这样 ，
[ 1 / ( cos x ) ² ] / ( 3 x ² ) - 1 / x ² , x -> 0
= 1 / ( 3 x ² ) - 1 / x ²
= 1 / ( 3 x ² ) - 3 / ( 3 x ² )
= - 2 / ( 3 x ² )
= - 无穷
还可以 换一种做法 ， 从上面对 tan x 求导， ( tan x ) ′ = 1 / ( cos x ) ² 看得出来， tan x 和 x 是 等价无穷小， 因为 当 x = 0 时， tan x = 0， x = 0， 根据 洛必达法则，
tan x / x , x -> 0
= ( tan x ) ′ / x ′
= 1 / ( cos x ) ² / 1
= 1 / ( cos x ) ²
= 1 / ( cos 0 ) ²
= 1 / 1 ²
= 1 / 1
= 1
即 当 x -> 0 时， tan x / x = 1
于是，
( tan x - sin x ) / x ³ , x -> 0
= tan x / x ³ - sin x / x ³
= 1 / x ² - 1 / x ²
= 0
哎 ？ 这怎么 算出 两个答案 来了 ？ 一个是 - 无穷， 一个 是 0 。
再换种做法， 完全使用 洛必达法则，
( tan x - sin x ) / x ³ , x -> 0
= [ ( tan x - sin x ) ] ′ / ( x ³ ) ′
[ ( tan x - sin x ) ] ′
= ( tan x ) ′ - ( sin x ) ′
= 1 / ( cos x ) ² - cos x
当 x = 0 时，
1 / ( cos x ) ² - cos x
= 1 - 1
= 0
( x ³ ) ′ = 3 x ² ， 当 x = 0 时， 3 x ² = 0，
当 x = 0 时，
[ ( tan x - sin x ) ] ′ / ( x ³ ) ′
= [ 1 / ( cos x ) ² - cos x ] / ( 3 x ² )
= 0 / 0 ， 仍然 是 0 / 0 型 极限， 接着 洛，
[ 1 / ( cos x ) ² - cos x ] ′
= [ 2 cos x * sin x ] / ( cos x ) ⁴ + sin x
当 x = 0 时
= [ 2 cos 0 * sin 0 ] / ( cos 0 ) ⁴ + sin 0
= [ 2 * 1 * 0 ] / 1 ⁴ + 0
= 0
( 3 x ² ) ′
= 3 * 2 x
= 6 x
当 x = 0 时
= 6 * 0
= 0
还是 0 / 0 型， 接着 洛，
{ [ 2 cos x * sin x ] / ( cos x ) ⁴ + sin x } ′
= { - 2 [ ( sin x ) ² - ( cos x ) ² ] ( cos x ) ⁴ + [ 2 cos x * sin x ] * 4 ( cos x ) ³ sin x } / ( cos x ) ⁸ + cos x
当 x = 0 时，
= { - 2 [ ( sin 0 ) ² - ( cos 0 ) ² ] ( cos 0 ) ⁴ + [ 2 cos 0 * sin 0 ] * 4 ( cos 0 ) ³ sin 0 } / ( cos 0 ) ⁸ + cos 0
= 3
( 6 x ) ′
= 6
于是， 当 x = 0 时，
{ [ 2 cos x * sin x ] / ( cos x ) ⁴ + sin x } ′ / ( 6 x ) ′ = 3 / 6 = 1/2
也就是，
( tan x - sin x ) / x ³ , x -> 0 = 1/2
咦 ？ 这怎么算出 三个 答案 来了 ？ 一个 是 - 无穷， 一个是 0， 一个 是 1/2 。
再换一种做法，
( tan x - sin x ) / x ³ , x -> 0
= ( sin x / cos x - sin x ) / x ³
= ( sin x - sin x cos x ) / cos x / x ³
= sin x ( 1 - cos x ) / cos x / x ³
= sin x ( 1 - cos x ) / ( cos x * x ³ )
因为 当 x -> 0 时， sin x / x = 1， sin x 和 x 是 等价无穷小， 可以约掉
= ( 1 - cos x ) / ( cos x * x ² )
当 x = 0 时，
1 - cos x
= 1 - cos 0
= 1 - 1
= 0
当 x = 0 时，
cos x * x ²
= cos 0 * 0 ²
= 1 * 0
= 0
所以， 当 x -> 0 时， ( 1 - cos x ) / ( cos x * x ² ) 是 0 / 0 型 极限， 用 洛必达法则，
( 1 - cos x ) ′
= sin x
( cos x * x ² ) ′
= - sin x * x ² + cos x * 2 x
当 x = 0 时，
sin x
= sin 0
= 0
当 x = 0 时，
- sin x * x ² + cos x * 2 x
= - sin 0 * 0 ² + cos 0 * 2 * 0
= 0 * 0 + 1 * 2 * 0
= 0 + 0
= 0
也就是， 当 x -> 0 时， ( 1 - cos x ) ′ / ( cos x * x ² ) ′ = sin x / ( - sin x * x ² + cos x * 2 x ) 仍然 是 0 / 0 型 极限，
接着 用 洛必达法则，
( sin x ) ′
= cos x
( - sin x * x ² + cos x * 2 x ) ′
= - cos x * x ² - sin x * 2 x - sin x * 2 x + cos x * 2
= - cos x * x ² - sin x * 4 x + cos x * 2
当 x = 0 时，
cos x
= cos 0
= 1
当 x = 0 时，
- cos x * x ² - sin x * 4 x + cos x * 2
= - cos 0 * 0 ² - sin 0 * 4 * 0 + cos 0 * 2
= - 1 * 0 - 0 * 4 * 0 + 1 * 2
= 0 - 0 + 2
= 2
此时， 不是 0 / 0 型， 也就是说， 这个结果 是 我们 要求 的 极限， 则
( tan x - sin x ) / x ³ , x -> 0
= cos x / ( - cos x * x ² - sin x * 4 x + cos x * 2 ) , x = 0
= 1/2
这个 做法 的 答案 也是 1/2 。
声明， 以上 的 做法 都 不一定 对， 同学们 还是要以 教科书 为准 。
本来 打算 做 三 题 的， 但 做一题 都 做成这样， 这么 麻烦， 算了， 不做了 。
这些题 我 都 不熟， 我用的 洛必达法则 又是 我 自己 推导 的， 见 《证明 夹逼定理 和 洛必达法则》 https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/15306964.html ， 也不知道 对不对 ， 为了 保险起见， 我用 Html 写了个 程序 近似计算了 一下 上面 这题 的 极限 。
程序代码 ： https://github.com/kelin-xycs/Calculator
爱手扶拖拉机 同学 在 《今日份题目》 的 9 楼 和 42 楼 说到 用 泰勒展开 推导出 等价无穷小 和 同阶无穷小 。 我想了 4 个 小时， 没 看出来 泰勒展开 比 洛必达法则 简便 在 哪里， 哈哈哈哈哈哈哈哈哈 。