我前几天 在 我 在 反相吧 发 的 帖 《极坐标系 下的 牛顿第二定律》 https://tieba.baidu.com/p/6381430244 里 和 网友 joywee2007 讨论 的 时候， 想到一个 问题， 见 5 楼
“
joywee 在 4 楼 回复 “但是，反过来我们可以设想：如果不考虑真空磁导率对光速的影响，无穷大的加速度为毛不能产生无穷大的速度呢？？”
这里， “真空磁导率对光速的影响” 的 意思 我还不是 太明白， 但 这 让我 想起了 一个 想法， 过两天 发帖 说明 。
”
这个问题 是 在 经典物理 里， 在 回旋加速器 里， 每一次 加速 ， 粒子 的 速度 变快， 粒子速度 变快 则 下次 的 加速 的 时间 会 变短， 假设 粒子 在 距离 电极 L 处， 开始加速， 通过 电极 时 停止加速， 粒子速度 越快， 通过 L 的 时间 越短， 也就是 加速时间 越短， 也就是 每一次 增加 的 速度 越小 。
那么， 这里 就有一个 极限问题， 随着 加速 次数 的 增加， 粒子速度 越来越快， 而 粒子速度 越快， 则 每次 加速 的 时间 越短， 增加 的 速度 越小， 设 加速 次数 无限， 粒子速度 会否 无限 增大， 还是 有一个 上限 ？
我在 两年前 在 反相吧 和 东方已晓 老师 讨论 的 时候 也 想到 和 提出过 这个 问题 。 当时 讨论 的 内容 涉及 东方已晓 老师 研究 的 如果 力 的 传递速度 是 光速， 当 粒子速度 接近光速时， 会否 对 粒子加速 和 测量粒子速度 产生影响， 而 “速度越大， 就越难加速” 的 现象 会否 就是 由此 产生 的 。
我在 当时 和 东方已晓 老师 讨论 的 过程 中 提出， 粒子 的 速度 越快， 则 从 靠近 到 通过 电极 的 时间 越短， 也就是 加速时间 越短， 这 会不会 也是 “速度越大， 就越难加速” 的 原因 ？
接下来 我们 研究一下 这个 问题 。
如图， 粒子 在 距离 电极 L 处 时， 电极 通电， 粒子 开始 加速， 粒子 到达 电极 时， 电极 断电， 本次 加速结束 ， 粒子 通过 电极 。
L 为 粒子 到 电极 的 垂直距离， 设 粒子加速过程中 运动轨迹 为 直线， 一直 垂直于 电极， 这段 运动轨迹 也 称为 L 。
设 第一次 加速 时 ， 粒子 初始速度 v0 = 0 ， 经过 L 的 时间 为 t1， 加速后， 粒子速度 为 v1 ， 从 开始加速（从 L 起点 开始） 运动 的 距离 为 s ， 电极 对 粒子 的 电场力 为 恒力 F 。
F 为 恒力， 是一个 简化， 也是 理想状态 。 按 常识 想当然， 电场 应该 会 随 距离 的 增加 而 减弱， 就像 库仑力， 但 这里 是 电场力， 不是 库仑力， 同学们， 要 把 这里 的 问题 搞清楚， 还要 知道 电场 、电势 、电场强度 、电压 、电场力 、库仑力 、介电常数 …… 是 什么， 不然， 让 你们 设计 加速器 也 设计不出来的 哦 ！
当 粒子 靠近 电极 时， 和 电极 的 距离 变短， 电场强度 变大， 电场力 变大， 但是 由于 电极 位于 前方两侧， 故 两个 电极 的 电场力 一部分 作为 L 的 法向分量 抵消了， 只有另一部分 作为 L 方向 的 分量 对 粒子 加速 。 所以 当 粒子 靠近电极 时， 受到的 电场力 并不会 因为 距离 缩短 而 急剧增大， 故 F 设为 恒力， 大概 也 讲得通 吧 ！
要 认真一点 的 话， 如果 粒子 是 电子， 要用 正电场 对 其 加速， 前方 的 电极 应该是 高电势， 也就是 接 火线， 但 如果 粒子 是 质子， 要用 负电场 对 其 加速， 这就有点 尴尬 了， “负电场” 是 什么 ？ 好吧， 我们 把 负电场 定义为 电场方向 和 刚才 的 正电场 的 方向 相反 的 电场 。
这 个 负电场 嘛， 好吧， 通俗一点， 要 对 质子 加速， 前方 的 电极 应该 是 低电势， 但 这也 同样 尴尬， “低电势” 又是什么 ？ 接零线 ？ 接地线 ？ 你 去 接接 看 试试吧 ！ 哈哈 。
这个 低电势， 低多少 ？ 要 怎么 低 ？ 比 我们 日常 的 生活环境， 比如 大地， 低 1000 伏 怎么样 ？ 大地 的 电势 为 0 的 话， 弄个 发电机 或 电池， 发 -1000 伏 出来， 怎么样 ？
好吧， 这个 负电势 发电机 留给 大家 研究 吧， 就像 永动机， 很好玩的 。
暂时， 我是 搞不出来， 所以， 我们这里 电极 还是 接火线， 只不过 把 电极 放到 L 的 起点， 就是 放到 开始加速 的 地方， 这样， 对 质子 产生 “推力”， 推着 质子 加速 。
也就是说， 对于 电子， 电极 放在 L 的 终点， 对 电子 产生 拉力， 对于 质子， 电极 放在 L 的 起点， 对 质子 产生 推力 。
设 粒子质量 为 m ， 加速过程中， 加速度 为 a ， 速度 为 v， 路程 为 s， 时间 为 t， 每次 开始加速 时 t = 0 ， 初始速度 为 V₀ ，
a = F / m ， 因为 F 是 恒力， m 是 常量， 所以 a 也是 常量 。
v = a t + V₀
s = ʃ v dt
= ʃ ( a t + V₀ ) dt
= 1/2 * a t ² + V₀ t + C
s = 1/2 * a t ² + V₀ t + C (1) 式
当 t = 0 时， s = 0 ， 代入 (1) 式
0 = 1/2 * a * 0 ² + V₀ * 0 + C
0 = 0 + 0 + C
C = 0
将 C 代回 (1) 式 ，
s = 1/2 * a t ² + V₀ t
以 t 为 未知数， 这是一个 一元二次方程 ，
1/2 * a t ² + V₀ t - s = 0
它 的 根 是 ，
t = [ - V₀ + 根号 ( V₀ ² + 2 a s ) ] / a
t = [ - V₀ - 根号 ( V₀ ² + 2 a s ) ] / a
t = [ - V₀ - 根号 ( V₀ ² + 2 a s ) ] / a 是 负根， 取 正根 t = [ - V₀ + 根号 ( V₀ ² -+ 2 a s ) ] / a 。
设 粒子经过 L 的 时间， 也就是 加速时间 为 T ，
T = [ - V₀ + 根号 ( V₀ ² + 2 a L ) ] / a
上文说了， 第一次 加速 时 ， 粒子 初始速度 v0 = 0 ， 设 第 1 次 加速 的 时间 为 t1， 加速后 的 速度 为 v1， 第 2 次 加速 的 时间 为 t2， 加速后 的 速度 为 v2 …… 第 n 次 加速 的 时间 为 tn， 加速后 的 速度 为 vn 。
t1 = [ - 0 + 根号 ( 0 ² + 2 a L ) ] / a
v1 = a * t1 + v0
= a * [ - 0 + 根号 ( 0 ² + 2 a L ) ] / a + 0
= 根号 ( 2 a L )
t2 = [ - v1 + 根号 ( v1 ² + 2 a L ) ] / a
v2 = a * t2 + v1
= a * [ - v1 + 根号 ( v1 ² + 2 a L ) ] / a + v1
= [ - v1 + 根号 ( v1 ² + 2 a L ) ] + v1
= 根号 ( v1 ² + 2 a L )
= 根号 ( [ 根号 ( 2 a L ) ] ² + 2 a L )
= 根号 ( 2 a L + 2 a L )
= 根号 ( 4 a L )
t3 = [ - v2 + 根号 ( v2 ² + 2 a L ) ] / a
v3 = a * t3 + v1
= a * [ - v2 + 根号 ( v2 ² + 2 a L ) ] / a + v2
= [ - v2 + 根号 ( v2 ² + 2 a L ) ] + v2
= 根号 ( v2 ² + 2 a L )
= 根号 ( [ 根号 ( 4 a L ) ] ² + 2 a L )
= 根号 ( 4 a L + 2 a L )
= 根号 ( 6 a L )
…… 依此类推 ， 可知
tn = { 根号 ( 2 n a L ) - 根号 [ 2 ( n - 1 ) a L ] } / a
vn = 根号 ( 2 n a L )
v1, v2, v3 …… vn 是一个 数列， 看得出来， 这个 数列 是 发散 的， 没有极限 。 当 n -> 无穷 时， vn -> 无穷 。
也就是说， vn 可以无限增大， 粒子 可以一直 加速， 速度 没有 上限 。
vn 还是 个 标准 的 1/2 次方 函数 呢 。
其实可以这样看， 把 每一次 的 加速过程 连起来， 也就是 把 每次 的 L 连起来， 实际上 n 次 加速 就是 在 长度 为 n * L 的 路程 上 加速度 为 a 的 匀加速 。
也就是说， n 次 加速 实际上 等价于 一个 普通 的 匀加速运动 ， 或者说， n 次 加速 实际上 就是 一个 普通 的 匀加速运动 。
还可以 这样 看 ， 粒子 在 回旋加速器 里 环绕一圈 就 加速一次， 经过 L 时 加速， 设 粒子 飞行 的 环形轨迹 长度 为 10 L， 加速 发生在 L 里， 则 每一圈 飞行 不加速 的 路程 是 9 L 。
每一次 加速 的 加速时间 是 t1, t2, t3 …… tn ， 可以 大略 的 认为 每一圈 飞行 的 时间 为 10 t1, 10 t2, 10 t3 …… 10 tn ， 其中 不加速 的 时间 是 9 t1, 9 t2, 9 t3 …… 9 tn 。
当 经过 n 次 加速 时， 粒子 飞行了 n 圈， 经过 的 时间 T_n圈 = 10 t1 + 10 t2 + 10 t3 + …… + 10 tn ，
T_n圈 = 10 t1 + 10 t2 + 10 t3 + …… + 10 tn
= 10 * ( t1 + t2 + t3 + …… + tn )
经过 n 次 加速 时， 加速时间 总和 T_n加速 = t1 + t2 + t3 + …… + tn ，
T_n圈 = 10 * ( t1 + t2 + t3 + …… + tn )
T_n圈 = 10 * T_n加速
T_n加速 = 1/10 * T_n圈
经过了 无限长 的 时间， 此时， T_n圈 -> 无穷 ， 粒子 飞行了 无数圈， n -> 无穷 ，
T_n加速 = 1/10 * T_n圈
= 1/10 * 无穷
= 无穷
T_n加速 -> 无穷
T_n加速 -> 无穷 表示 加速时间 也是 无限长， 对于 加速度 为 常量 a 的 匀加速运动 ， 加速时间 无限长 也就是 速度 加速 到 无限大 。
上面说 “经过了 无限长 的 时间， 此时， T_n圈 -> 无穷 ， 粒子 飞行了 无数圈， n -> 无穷 ，” ， 能不能 反过来 说 “当 n -> 无穷 时， 经过了 无限长 的 时间 ” ？ 不一定 。 如果 每一圈 飞行 的 速度 v1, v2, v3 …… vn 是 一个 发散 的 等比数列， 那么， 在 一段 有限 的 时间 里， 就可以 飞行 无数圈， n -> 无穷 。
刚刚 的 推导 里， 每一次 加速 之间 的 时间间隔 是 9 tn ， 可以 让 每一次 加速 之间 的 时间间隔 为一个 常量 T_间隔 ，
每一圈 飞行 的 时间 为 t1 + T_间隔 , t2 + T_间隔 , t3 + T_间隔 …… t4 + T_间隔 ，
T_n圈 = t1 + T_间隔 + t2 + T_间隔 + t3 + T_间隔 + …… + t4 + T_间隔
= ( t1 + t2 + t3 + …… + tn ) + n * T_间隔
= T_n加速 + n * T_间隔
T_n圈 = T_n加速 + n * T_间隔
T_n加速 = T_n圈 - n * T_间隔
当 n -> 无穷 时， T_n圈 -> 无穷， n * T_间隔 -> 无穷 ，
T_n加速 = T_n圈 - n * T_间隔
= 无穷 - 无穷
这个 无穷 - 无穷 是 一个 有限 的 值 还是 也是 无穷， 这个 是 说不定 的 。
当 n -> 无穷 时， tn -> 0， 而 T_间隔 是 一个 常量， 那么， 谁 能 保证 T_n加速 = t1 + t2 + t3 + …… + tn 不是 一个 有限大小 的 值 呢 ？
最后 这句 反问句 有点 绕， 可能 会 理解 反了 ， 它 的 意思 是 ， 谁 能 保证 T_n加速 = t1 + t2 + t3 + …… + tn 是 会 无限 增大 的 ？
谁 能 保证 T_n加速 = t1 + t2 + t3 + …… + tn 是 发散 的 ？
说到这里， 我想起了 1 + 1/2 + 1/3 + …… + 1/n , n -> 无穷 是 收敛 还是 发散 的 问题 ， 这是 调和级数 ？ 还是 中华级数 ？ 嗯， 下次 研究 这个 。
F =