这篇文章 的 起因 是 《小梦 在 民科吧 发了一个 用 四则运算 开平方 的 帖》 https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/13296121.html 。
《小梦 在 民科吧 发了一个 用 四则运算 开平方 的 帖》 也 发到了 反相吧 《小梦 在 民科吧 发了一个 用 四则运算 开平方 的 帖》 https://tieba.baidu.com/p/6811112759 。
我在 帖 里的 12 楼 说了， 小梦 的 算法 简单小巧， 适合 用在 计算器 上， 我们可以 设计一个 硬件电路 来 实现 它 。
这个 算法 是， 设 b 为 被开方数， 任取一个 正数 a， 令 c = ( b - a ² ) / ( 2 a ) ， 令 a = a + c ， 重复若干次 这个过程， a 就 很接近 b 的 平方根 了 。
这个 算法 可以 称为 “小梦算法” 。
先画 一个 逻辑电路图 ：
图 (1)
左边 的 a 、b 、c 、diff 、v1 、v2 、abs_diff 、max_diff 是 存储单元， 也就是 内存， 也就是 内存单元， 假设 每个 存储单元 是 64 位 的， 可以 存储 64 位 浮点数 。
右边 的 F1 、F2 、F3 、F4 、F5 、F6 是 控制单元， 具体 的 控制 和 运算 逻辑 就在 控制单元 里 实现 。
橙色线 和 橙色箭头 是 控制信号线路 和 信号传递方向， 蓝色线 是 数据线路， 一根 线 在 实际中 可能是 多位 的 。
绿色线 和 绿色箭头 也是 控制信号线路， 表示 和 橙色 不同 的 控制分支 。
F1 、F2 、F3 、F4 、F5 、F6 都 会有 数据线 和 相关的 存储单元 相连， 图中 用 蓝线 简略 的 表示， 并没有 画出 具体 的 连接 线路 。
我们 定义 ： 有电压 为 1， 无电压 为 0 。
开始运算 时， 输入端 输入 一个 1 脉冲， 就可以 触发 电路 开始 进行 开平方 运算 。 注意 是 1 脉冲， 不是 持续 的 1 。
先介绍一下 存储单元，
a 存放 a， a 是 中间结果， 也是 最终结果
b 存放 b， 也就是 被开方数
v1 存放 a ²
diff 存放 b - a ²
v2 存放 2 * a
c 存放 diff / v2
abs_diff 存放 diff 的 绝对值
max_diff 存放 精度值， 当 b - a ² 的 绝对值 ， 也就是 abs_diff 小于 max_diff 时， a 为 达到 精度 的 开方结果 ， 可以输出 。
开始 运算 前， 先 把 被开方数 存到 b， 同时 任取一个 正数， 比如 1 ， 存到 a 。
然后， 向 输入端 输入 一个 1 脉冲， F1 接收 到 1 脉冲 后 接通电路， 开始工作 。 F1 的 工作 是 发信号 给 运算器， 让 运算器 计算 a ²， 运算器 计算 结束后， F1 把 计算结果 存放到 v1 ， 同时 发出 一个 1 脉冲， 触发 F2 开始工作 。
运算器 在 这个 图 里 没有 画出来， 运算器 是 一个 公共部件， F1 、F2 、F3 、F4 、F5 、F6 都会去调用 。
F1 的 内部电路 会 在 下文 画出来， 里面 会 画出 F1 调用 运算器 的 电路 和 逻辑 。
F1 的 内部电路 如下 ：
图 (2)
图 (3)
输入端 接收 到 1 脉冲， 这个 1 脉冲 会让 “让 寄存器 A 变成 写入状态” 电路 接通， 这个电路 会 向 寄存器 A 发出 信号， 告诉 寄存器 A 变成 写入状态，
同时， 输入端 的 1 脉冲 还会 让 “让 寄存器 B 变成 写入状态” 电路 接通， 这个电路 会 向 寄存器 B 发出 信号， 告诉 寄存器 B 变成 写入状态，
同时， 输入端 的 1 脉冲 会 触发 延时开关， 延时开关 在 一段时间 后 输出 一个 1 脉冲 ， 这个 1 脉冲 会 接通 下一个 操作 的 电路 。
这样 就可以 在 一个 操作 完成后 触发 下一个 操作 执行 。
为什么要用 延时开关 呢 ？ 是 为了 确保 上一个 操作 完成 后， 才 触发 下一个 操作 。 因为 电路 的 运行 需要时间， 每一段电路 运作 需要 的 时间 也 不完全相同， 所以 需要 延时开关 在 一段时间 后 发出 1 脉冲 触发 下一个 操作， 这段时间 应该 足够 完成 当前操作， 这样 来 确保 触发 下一个 操作时， 当前 操作 已经 完成 。
从 图上 可以看到， “让 寄存器 A 变成 写入状态” 和 “让 寄存器 B 变成 写入状态” 是 F1 的 第一个 步骤， 这 2 个 操作 是 同时执行 的， 也可以说是 并行 执行 的 。
第 1 个 步骤 有 一个 延时开关， 当 “让 寄存器 A 变成 写入状态” 和 “让 寄存器 B 变成 写入状态” 完成 后， 延时开关 发出 1 脉冲， 触发 下一个 步骤 。
第 2 个 步骤 包含 2 个 操作， “打开 a 和 寄存器 A 的 通路， 让 a 的 数据 写入 寄存器 A” 和 “打开 a 和 寄存器 B 的 通路， 让 a 的 数据 写入 寄存器 B” ，
这 2 个 操作 也是 同时执行 的， 第 2 个 步骤 也 有 一个 延时开关， 这 2 个 操作 完成 后， 延时开关 发出 1 脉冲， 触发 下一个 步骤 。
到 目前为止， 每一个 操作 是 一段 电路， 这一段 电路 在 输入端 输入 1 脉冲 时 工作， 1 脉冲 结束 后 电路 停止 。
1 脉冲 是 有电压， 这个 电压 使得 电路 接通 并 工作， 1 脉冲 结束 后， 无电压， 电路不工作 。 延时开关 被 触发 后， 即使 输入端 的 1 脉冲 结束， 也会 在 设定好 的 时间 后 在 输出端 发出 1 脉冲 。
当然， 我们需要 知道 每一个 步骤 完成 的 最大时间， 以此 来 设置 这个 步骤 的 延时开关 的 延迟时间， 延迟时间 应该 比 步骤 完成 的 最大时间 更大一点， 这样 有一点 冗余， 有利于 电路 的 稳定运行 。
图 (3) 的 第一个 操作 是 “向 运算器 发出 指令 计算 乘法”， 同时 会 触发 延时开关， 延时开关 发出 1 脉冲 应该是在 运算器 完成 运算 之后 。
也就是说， 延时开关 的 延迟时间 应该是 “向 运算器 发出 指令 计算 乘法” 电路 的 运行时间 + 运算器 计算乘法 的 时间 + 冗余时间 。
这需要 设计者 了解 运算器 的 运算时间 ， 并以此 给 延时开关 设定 延迟时间 。
这个 设计 不算太好， 从 软件设计 的 角度来讲， 封装性 不太好， 高内聚 低耦合 不足 。 因为 这需要 运算器 将 运算时间 告知 其它 元件， 当 运算器 的 运算时间 发生变化， 与之相关 的 操作 的 延时开关 的 延迟时间 都要 修改 。
所以， 我们可以 把 图 (3) 的 这部分 设计 改一下 ：
图 (4)
图 (4) 和 图 (3) 不同 的 地方 是 “向 运算器 发出 指令 计算 乘法” 的 下面 是 “一次性开关”， 图 (3) 中 此处 是 延时开关 。
运算器 计算 完成 时 会 通过 输出端 输出 1 脉冲， 表示 计算完成， 这个 1 脉冲 会 触发 外部电路 进行 下一步 操作 。
实际上 可以 不用 延时开关， 让 运算器 的 输出端 直接 连到 到 下一个 操作 的 电路， 运算器 计算完成 时 在 输出端 输出 1 脉冲 可以 直接 触发 下一个 操作 的 电路 。
为什么 这里 要用 一次性开关 呢 ？
因为 有 多个 元件 会 用到 运算器， 所以， 运算器 的 输出端 会 连接 到 多个 元件， 向 多个 元件 输出 完成信号 1 脉冲， 这就需要 区分 当前 调用 运算器 的 是 哪一个 元件， 运算器 输出 的 完成信号 应该 只 发给 当前 调用 运算器 的 元件 。
此时， 一次性开关 就 派上用场 了 。
一次性开关 是 这样 ：
开始时， 一次性开关 处于 停止状态， 输出端 输出 0， 也就是 无电压 。
当 控制端 输入 1 脉冲 时， 触发 一次性开关， 进入 工作状态， 进入 工作状态 后， 输出端 仍然 是 0， 当 输入端 输入 1 脉冲 时， 输出端 输出 1 脉冲， 同时， 停止 一次性开关， 让 一次性开关 恢复 停止状态 。
在 停止状态 下， 无论 输入端 输入 1 还是 0， 输出端 的 输出 都是 0 。 或者说， 在 停止状态 下， 输入端 的 输入 无效 。
图 (1) 里 的 F6 “判断 abs_diff < max_diff” 会 2 次 用到 运算器， 一次 是 计算 diff 的 绝对值 （diff 的 绝对值 会 存到 abs_diff ）， 一次 是 比较 abs_diff 和 max_diff 的 大小 。
运算器 除了 加减乘除， 还 可 求 绝对值 和 比较大小， 把 要 求 绝对值 的 数 放到 寄存器 A， 再 发指令 告知 运算器 求 绝对值， 运算器 会 对 寄存器 A 里 的 数 求 绝对值， 并把 结果 存放到 寄存器 C 。
运算器 提供 比较 大小 的 功能， 把 要 比较 大小 的 2 个 数 存到 寄存器 A 和 寄存器 B， 发指令 告知 运算器 比较大小， 运算器 会 比较 寄存器 A 和 寄存器 B 里 2 个 数， 运算器 会 提供 3 个 输出端 来 返回 比较结果， 这 3 个 输出端 是 “大于” 、“小于” 、“等于” ， 若 A > B ， 大于端 输出 1 脉冲， 若 A < B， 小于端 输出 1 脉冲， 若 A = B ， 等于端 输出 1 脉冲 。
运算器 本身 是一个 复杂 的 部件， 基本原理 也是 上文 所讲 的 逻辑电路 原理 ， 给出 适当 的 算法， 用 上文 的 逻辑电路 原理 可以 设计出 运算器 。
到 目前为止， 运算器 提供 加减乘除 、求绝对值 、比较大小， 一共 6 个 功能， 对应 6 个 指令， 可以用 3 位 指令 来 表示 。
0 和 1 的 3 位 组合 有 8 种， 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111 ， 去掉 000 ， 还有 7 种， 足够表示 6 个 指令 。
为什么 要 去掉 000 呢 ？ 因为 000 表示 无指令， 空闲 。
6 个 指令 可以这样 表示 ：
001 加
010 减
011 乘
100 除
101 求 绝对值
110 比较大小
运算器 提供 3 位 线路 作为 指令 输入端 就可以 。 也可以说， 运算器 的 指令 输入端 是 3 个 引脚 。 也可以说， 运算器 的 指令 输入端 是 3 条 接线 。
我以前写过一篇文章 《漫谈 计算机硬件 的 设计 和 实现》 https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/9866334.html ， 介绍过 “指令开关”， 指令开关 的 学名 似乎 叫 “译码器” 和 “真值表” 。
具体 的 电路设计， 比如 上文 涉及到 的 一些 开关元件 ： 延时开关 、 一次性开关， 我会 另外写一篇 文章 《设计 逻辑电路 的 开关元件》 https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/13412340.html 来 介绍 。
严格的说， 上文 说 的 “延时开关” ， 应该是 “延时脉冲开关”， 延时开关 是 触发 后 延迟一段时间 后 导通， 导通 后 一直 保持 导通状态 。
延时脉冲开关 是 触发 后 延迟一段时间 后 输出 一个 脉冲， 脉冲 是 指 导通 一段时间 后 断开， 并非 一直 导通， 导通时间 就是 脉冲宽度 。
当然， 还有 一种 延时开关 是 触发 后 立即 导通， 延迟一段时间 后 断开 。