二体 微分方程， 就是 二体问题 的 微分方程， 二体问题， 就是 天体力学 n-体 问题 中 n = 2 时 的 二体 。
就是 2 个 质点 在 万有引力 作用下 的 运动 。
严格的说， 二体 微分方程， 应该是 一体 微分方程 ， 一体 问题 又称 理想公转问题， 指 2 个 质点 A 、B， A 是 “固定” 的， 是 惯性系， B 在 万有引力 作用下 围绕 A 公转 。
一体 和 二体 的 区别 是 ， 二体 的 质点 A 不是 固定 的 ， 不是 惯性系， A 、B 在 对方 引力 下 相互运动 。
可以 通过 约化质量 把 二体问题 简化 为 一体问题 ， 即 让 B 使用 约化质量， 这样可以把 A 看作 “固定” 的， 是 惯性系 ， 这样 二体问题 就 简化为了 一体问题 。
所以， 所谓 的 二体 微分方程（组）， 实际上是 一体 微分方程（组） 。
我在 《一体方程 二体方程 三体方程》 https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/12075154.html 中 提出了 直角坐标系 下 的 一体 方程组 ：
d²x / dt² = - G M / (x² + y²) 3/2次方 * x
d²y / dt² = - G M / (x² + y²) 3/2次方 * y
也 提出了 极坐标系 下 的 微分方程 ， 但是 这些 方程（组） 是 无法求解 的 。
教科书 上 的 二体问题（一体问题） 解法 是 以 角动量守恒 为 前提， 推出 开普勒第一定律， 即 运动质点 的 轨迹 是 椭圆， 再结合 万有引力 机械能守恒 微积分方法 来 求出 二体运动方程（一体运动方程） 。
教科书 的 二体解法 利用了 二体问题 的 若干个 特殊性， 包括 极坐标系 、 约化质量 、 机械能守恒 、 角动量守恒 。 如果 没有 二体问题 的 这些 特性， 单纯 的 微分方程 是 解不出来 的 。
而 其中， 最关键 的 一个 特性 是 角动量守恒 ， 根据 角动量守恒 推出 开普勒第一定律， 即 运动质点 的 轨迹 是 椭圆， 将 椭圆轨道 作为 条件 代入 才能 解出 二体（一体） 微分方程 。
如果 没有 椭圆轨道 条件， 则 一体 微分方程 的 条件不足， 不能求解 。 当然 可以根据 牛顿第二定律 和 运动学规律 再 列出一些 微分方程 来 补足条件， 但是， 这样 微分方程 就 不止一个， 是 若干个， 这就 成了 方程组， 这些 微分方程组 是 无法求解 的 。
可以 把 机械能守恒 作为 条件 加入 来 帮助 求解方程， 但 如果 没有 椭圆轨道 条件 ， 机械能守恒 条件 仍然 起不了 什么 作用 。
除了 以 角动量守恒 为 基础， 其实 也可以 用 定性分析 的 方法 解 一体 微分方程组， 比如 上文提到的 直角坐标系 下 的 微分方程组 。
定性分析 就是 凑一个 解 出来 看是否满足 微分方程组， 比如， 知道 一体 的 公转轨道 是 椭圆， 可以 凑一个 椭圆运动方程 来 满足 微分方程组 。
二体问题 可以通过 约化质量 转化为 一体问题， 一体问题 可以在 角动量守恒 的 基础 上 求解， 或者 用 定性分析 求解， 但 这样得到的 解 仍然 是 不完备 的， 因为 这样的解 只描述了 一个 质点 相对于 另一个 质点 的 运动状况， 没有 描述 两个质点 在 第三方参照系 中 的 运动状况 。
所以， 网上说 “二体问题 已经 圆满解决”， 其实 也不算 太圆满， 还 值得 探究 啊 ！
所以， 数学 也没什么 高深 的， 传统 数学 的 能力 也就是 到 二体 为止， 呵呵 。
我们 接下来 要 发展 数学 描述 空间 的 能力， 包括 描述 空间形状 和 空间事件 的 能力 。
所以， 以后 如果 有 学生党 跟 你 秀 数学， 你就跟他说， “哎， 你把 二体问题 的 完备性 解决了吧 ！” ， 二体问题 的 完备性 就是 刚刚说的， 求出 两个质点 在 第三方参照系 中 的 运动状况 ， 哈哈哈哈 。