圆周率 π 展开 为 无穷级数 其实 很简单， 如图 ：
可以用 黄色小三角形 和 橙色小三角形， 以及 依此类推 下去 的 无数个 小三角形 来 逼近 圆面积， 把 这个 无限逼近 的 圆面积 称为 S，
因为 圆面积 = π r ² ， 所以， 有 S = π r ² ， π = S / r ² 。
即 用 无限逼近 的 圆面积 S 除以 r ² 就是 π ， 因为 S 是 无穷级数， 所以， S / r ² 就是 π 的 无穷级数 。
将 黄色 小三角形 称为 第 1 层 小三角形， 橙色 小三角形 称为 第 2 层 小三角形 ， 以此类推， 有 第 3 层 、 第 4 层 …… 第 n 层 小三角形， n -> 无穷 。
取 扇形 OAB 的 面积， 记为 S_扇OAB ， 设 圆 O 半径 为 r， 面积 为 S， 则 S_扇OAB = 1/4 * S = 1/4 * π r ² 。
则 π = 4 * S_扇OAB / r ² 。
所以， 只要 求出 S_扇OAB 的 无穷级数 ， 就可以 得到 π 的 无穷级数 。
S_扇OAB = S△OAB + S△1 + 2 * S△2 + 4 * S△3 + …… + 2^(n - 1) * S△n ， n -> 无穷
S△OAB 是 三角形 OAB 的 面积， S△1 是 第 1 层 小三角形 的 面积， S△2 是 第 1 层 小三角形 的 面积， S△n 是 第 n 层 小三角形 的 面积，
第 1 层 小三角形 有 1 个， 第 2 层 小三角形 有 2 个， 第 3 层 小三角形 有 4 个， 第 n 层 小三角形 有 2^(n - 1) 个 。
可以看到， 小三角形 都是 等腰三角形， 第 1 层 小三角形 的 底边 = AB ， 第 2 层 小三角形 的 底边 是 第 1 层 小三角形 的 腰， 以此类推 ， 第 n 层 小三角形 的 底边 是 第 n - 1 层 小三角形 的 腰 。
设 第 n 层 小三角形 的 底 为 an ， 腰 为 bn ， 高为 hn ， 为了 叙述方便， 设 m = n - 1， 则 第 n - 1 层 的 小三角形 的 底 为 am ， 腰 为 bm， 高 为 hm， 根据 勾股定理 ：
an = bm = [ ( 1/2 * am ) ² + hm ² ] 开方
hm = r - [ r ² - ( 1/2 * am ) ² ] 开方
a1 = ( r ² + r ² ) 开方 = 根号 2 * r
于是，
S_扇OAB = S△OAB + S△1 + 2 * S△2 + 4 * S△3 + …… + 2^(n - 1) * S△n ， n -> 无穷
= 1/2 r ² + 1/2 a1 h1 + 2 * 1/2 a2 h2 + 4 * 1/2 a3 h3 + …… + 2^(n - 1) * 1/2 an hn ， n -> 无穷
π = 4 * S_扇OAB / r ²
= 4 * [ 1/2 r ² + 1/2 a1 h1 + 2 * 1/2 a2 h2 + 4 * 1/2 a3 h3 + …… + 2^(n - 1) * 1/2 an hn ] / r ²
= [ 2 r ² + 2 a1 h1 + 4 * a2 h2 + 8 * a3 h3 + …… + 2^n an hn ] / r ² ， n -> 无穷
可以 令 r = 1， 则
π = 2 + 2 a1 h1 + 4 a2 h2 + 8 a3 h3 + …… + 2^n an hn ， n -> 无穷
a1 = 根号 2
这就是 π 的 无穷级数 。
应该指出， 这个 级数 的 每一项 都会有 开方 ， 开方 会 产生 无理数， 无理数 是 无限不循环小数， 实际计算 中 只 取 有限 的 位数 会 产生 误差， 而 每一项 又 根据 前面 的 项 计算 而来， 这个 误差 也会 积累 下来 。
我用 Html5 + javascript 写了一个 程序， 来 计算 上面给出 的 无穷级数， 项目地址 ： https://github.com/kelin-xycs/PiSeries 。
计算结果 是 当 n = 20 时， π = 3.14159265358862 。 呵呵呵呵 。
javascript 的 浮点数 是 双精度 浮点数， 有效数字 大约 是 15 位 数字， 所以 结果 也是 15 位 数字 的 ， 但 理论上， 根本 的 误差 因素 是 上面说的 每一项 开方 产生 无理数 。