网友 暮色星辰ing （Suzuha） 在 数学吧 发了一个 帖， 提问了一道 题， 这道题 是
g(x) = 5 / ( 2^x + 1 ) - 2 ， x ∈ [ 0, 2 ] ， y = [ 2 + g(x) ] [ 1 / g ( -x ) - 2 ] ， 求 y 的 值域 。
我做了一下，
我化简 得到 的 函数式 是 y = -25 * (2^x - 1) / [ (2^x + 1) (3 * 2^x - 2) ] ， 和 29 楼 一样，
当 x = 0 时， y = 0，
当 x = 2 时 ， y = -1.5，
不知道 29 楼 的 根号 6 是 哪里 冒出来 的，
渝中寿人 寿人 老师 拼命 的 求导数， 是不是 要 确定 y 的 极值点， 并以此 来 判断 x 在 [ 0, 2 ] 区间 里的 单调性 ？
回复 34 楼 渝中寿人 寿人 老师 新年好 。
这题 的 函数式 可以 进一步 化为 y = ( 2^x - 1 ) / ( 3 * 2^2x + 2^x - 2 ) ，
如果 这题 是 一个 高中题， 应该 可以 把 函数式 中的 一些项 消掉 变成一个 简单 函数， 比如 不是 分式， 但 看起来 好像 消不掉 。
如果 是 求导数 来 判断 极值， 那个 导数 求出来 大概 也很难 解 出 导数 为 0 时 的 x 。
So …… ？
接 37 楼 ，
如果 分母 是 2^2x - 2 * 2^x + 1 ， 那么 可以 化成 ( 2^x - 1 ) ² ， 那么 就是
y = ( 2^x - 1 ) / ( 2^x - 1 ) ²
= 1 / ( 2^x - 1 )
这样 用 高中 的 知识也可以 判断 [ 0, 2 ] 区间 里 的 单调性 ， 可以 先 判断 2^x - 1 的 单调性， 再 判断 其 倒数 的 单调性 。
等等 。
37 楼 和 本楼 的 函数式 少了 系数 -25 ，不过这没关系， 乘上 一个 负系数 只是 让 单调性 反转 。
后来 楼主 公布了 答案 ， 我 按照 答案 的 思路 做了一遍 。
这样 ？
y = 3/u + 2u - 7 （1）式
yu = 3 + 2 u ² - 7u
2 u ² - ( 7 + y ) u + 3 = 0 （2）式
u1 = 【 7 + y + 根号 [ (7 + y) 2 - 24 ] 】/ 4
u2 = 【 7 + y - 根号 [ (7 + y) 2 - 24 ] 】/ 4
当 u1 = u2 时， y 取 极值 ，
【 7 + y + 根号 [ (7 + y) 2 - 24 ] 】/ 4 = 【 7 + y - 根号 [ (7 + y) 2 - 24 ] 】/ 4
根号 [ (7 + y) 2 - 24 ] = - 根号 [ (7 + y) 2 - 24 ]
2 * 根号 [ (7 + y) 2 - 24 ] = 0
(7 + y) 2 - 24 = 0
7 + y = +(-) 2 * 根号( 6 )
y = +(-) 2 * 根号( 6 ) - 7
y1 = 2 * 根号( 6 ) - 7
y2 = - 2 * 根号( 6 ) - 7
把 y1 代入 （1）式， 得 u = 根号( 6 ) / 2 ，
把 y2 代入 （1）式， 得 u = - 根号( 6 ) / 2 ，
因为 u ∈ [ 1/2 , 2 ] ， y1 得到 的 u = 根号( 6 ) / 2 在 [ 1/2 , 2 ] 内， y2 得到 的 u = - 根号( 6 ) / 2 不在 [ 1/2 , 2 ] 内，
所以， 取 y1， y1 是 u ∈ [ 1/2 , 2 ] 内 的 极值点，
因为 当 u = 1/2 时 ， y = 0， 当 u = 2 时 ， y = - 1.5 ，
0 和 -1.5 均 大于 y1 = 2 * 根号( 6 ) - 7 ， 所以 y1 是 u ∈ [ 1/2 , 2 ] 内 的 最小值，
所以， y 在 u ∈ [ 1/2 , 2 ] 内 的 值域 是 [ 2 * 根号( 6 ) - 7 , 0 ] 。
因为 有 y1， y2， 所以， y 在 y1， y2 都是 局部 极值， 或者说 峰值（谷值） 。
y1 对应 的 u = 根号( 6 ) / 2 ，
y2 对应 的 u = - 根号( 6 ) / 2 。
看来， 二次函数 或者 二次方程 才是 高中 判断 极值 的 主流 啊 ！
补上 （1）式 的 推导过程 ：
首先 证明 g(x) + g(-x) = 1 。
g(x) + g(-x) = 5 / (2^x + 1) - 2 + 5 / (1/2^x + 1) - 2
= 5 / (2^x + 1) - 2 + 5 / [ (1 + 2^x) / 2^x ] - 2
= 5 / (2^x + 1) - 2 + ( 5 * 2^x ) / ( 1 + 2^x ) - 2
= 5 / (2^x + 1) + ( 5 * 2^x ) / ( 2^x + 1 ) - 4
= ( 5 + 5 * 2^x ) / (2^x + 1) - 4
= 5 * (2^x + 1) / (2^x + 1) - 4
= 5 - 4
= 1
根据 g(x) + g(-x) = 1 ， 可得 g(-x) = 1 - g(x) ，
令 t = g(x) ， 则 g(-x) = 1 - t ， y = (2 + t) [ 1 / (1 - t) - 2 ] ， t ∈ [ -1, 1/2 ] ，
y = (2 + t) * 1 / (1 - t ) - 4 - 2t
= - (2 + t) * 1 / (t - 1 ) - 4 - 2t
= - (2 + 1 + t - 1) / (t - 1 ) - 4 - 2t + 2 - 2
= - (3 + t - 1) / (t - 1) - 4 - 2 (t - 1) - 2
令 u = 1 - t ， u ∈ [ 1/2 , 2 ] ，
y = (- 3 + u) / -u - 4 + 2u - 2
= 3 / u - 1 - 4 + 2u - 2
= 3 / u + 2u - 7
这就可以推导出 Suzuha 给出的 y = 3 / u + 2u - 7 ， u ∈ [ 1/2 , 2 ] 。
还可以用 一元二次方程 判别式 Δ = b ² - 4 a c 来 判断 y = 3/u + 2u - 7 的 极值， 将 y = 3/u + 2u - 7 去 分母 化为 u 为 未知数 的 一元二次方程 ， 即 （2）式，
当 Δ > 0 时， 方程 有 2 个 实根，
当 Δ = 0 时， 方程 有 1 个 实根， 此时 y 取极值 ，
Δ = 0 就是 上文 的 u1 = u2 ， u1 = u2 推出 的 就是 Δ = 0 。
还可以用 不等式 a + b >= 2 根号 ( a b ) 来 判断 y = 3/u + 2u - 7 的 最小值 ，
y = 3/u + 2u - 7 >= 2 根号 (3/u * 2u ) - 7 = 2 根号 ( 6 ) - 7 。
不等式 a + b >= 2 根号 ( a b ) 可以用 平方和 公式 ( a + b ) ² = a ² + 2 a b + b ² 推出， 按照 渝中寿人 老师 的 说法， 这个不等式 在 a > 0 , b > 0 时 成立 。
当 a != b 时， a + b > 2 根号 ( a b ) ，
当 a = b 时， a + b = 2 根号 ( a b ) 。
当然， a = 0 , b = 0 时， 这个 不等式 也成立， 此时， a + b = 2 根号 ( a b ) = 0 。
Suzuha 又 发了 一个 帖 《大家的做题热情实在是高 故开新帖继续做题》 http://tieba.baidu.com/p/6460902864 ， 出了一个 新的 题 ，
新 的 这道题 可以 再做做看， 但 不一定 做的出来， 因为这种题 可能 技巧性 很强， 比如 现在的 这道题 如果不知道 g(x) + g(-x) = 1 ， 那就 做不出来， 嘿嘿 。
