逆序枚举和顺序枚举差异主要在一维数组实现的时候出现
方程: dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
测试样例:
3 5
3 5 2 6 4 10
逆序结果: 11
顺序结果: 12
12这个错误的数据是怎么来的?
利用check,打印每次枚举后的结果, 代码如下
1 #include <iostream> 2 #include <cstring> 3 #include <cstdio> 4 using namespace std; 5 const int M=1e5+10; 6 int w[M],v[M]; 7 int n,m; 8 int dp[M]; 9 10 int T; 11 void check(int i,int j) { 12 13 cout<<"容量为"<<j<<"的背包中,"<<"放入第"<<i<<"个物品 "; 14 printf("容量: "); 15 for(int k=1; k<=m; k++) { 16 cout<<k<<" "; 17 } 18 printf(" 价值: "); 19 for(int k=1; k<=m; k++) { 20 cout<<dp[k]<<" "; 21 } 22 puts(" "); 23 } 24 /* 25 3 5 26 3 5 2 6 4 10 27 28 */ 29 void f1() { 30 memset(dp,0,sizeof(dp)); 31 //dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);i(1,n),j>=w[i], 32 //容量初始值j=m 33 //决策时i为常数， 所以 i 在最外层 34 for(int i=1; i<=n; i++) { 35 /* 36 for(int j=m; j>=w[i]; j--) { // 37 dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]); 38 }*/ 39 for(int j=1; j<=m; j++) { 40 if(j>=w[i])dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]); 41 check(i,j); 42 } 43 } 44 cout<<dp[m]<<endl; 45 } 46 void f2() { 47 memset(dp,0,sizeof(dp)); 48 //dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);i(1,n),j>=w[i], 49 //容量初始值j=m 50 //决策时i为常数， 所以 i 在最外层 51 for(int i=1; i<=n; i++) { 52 53 for(int j=m; j>=w[i]; j--) { // 54 dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]); 55 check(i,j); 56 } 57 58 } 59 cout<<dp[m]<<endl; 60 } 61 /* 62 5 1000 63 144 990 64 487 436 65 210 673 66 567 58 67 1056 897 68 69 2099 70 */ 71 int main() { 72 73 cin>>n>>m; 74 for(int i=1; i<=n; i++)cin>>w[i]>>v[i]; 75 f1(); 76 system("pause"); 77 f2(); 78 79 return 0; 80 }
对于放入第2个物品,容量为3的枚举，dp[3]= 6, 6= dp[3-2]+6
对于放入第2个物品,容量为4的枚举，dp[4]= 12, 12= dp[4-2]+6
在第4次枚举的时候发现问题,
原因在于dp[4]=dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
dp[4]=dp[2]+6 = 6+6
然鹅,dp[2]已经更新过,通过装入物品2,
此时dp[2]的值是容量为2的时候的最大值,
在这个过程里, 第2个背包被使用了两次,
重复枚举就是利用先更新容量小的背包实现的
而dp[5]则是直接继承了dp[4]
每次都利用之前的最大值,并且每个背包都放进去试一试, 可以继承已经更新过的--前驱背包的--"最大价值", 也就可以重复无限次,
这样枚举出来的结果是完全背包的最大价值
============//=============
而逆序枚举呢?
和顺序枚举不一样的地方从放入第2个物品开始,
逆序 dp[5]=dp[5-2]+6=dp[3]+6, 一样用的是之前更新过的最大值,
但是区别在于, 之前更新过的dp[3], 并没有被第2个物品放入过, 也就是说没有被枚举更新过, 也就是说不存在重复更新,
同理, dp[4] =dp[4-2]+6=dp[2]+6;
此时dp[2]=0, 还没有被更新过,还没有尝试放入第2个物品过,
不存在: 容量小的背包在容量大的背包被更新之前就更新过
结论: 顺序枚举是可取无限次物品的结果, 逆序枚举是每种物品只取一次的结果