逆元的定义

根据前面的定义：对于模数 (m) ，若对于剩余类 ([a]) ，存在剩余类 ([b]) 使得 ([a]cdot [b]=[1]) 则称呼 ([b]) 为 ([a]) 的逆元

我们写成同余的形式：若对于模数 (m) 和整数 (a) ，若 (bcdot aequiv 1(mod m)) 则称呼 (b) 为 (a) 的逆元，记为 (a^{-1}) 或 (oldsymbol{Inv}(a))

根据裴属定理，只有 (ax+my=kcdot gcd(a,m),kin Z_+) 有解

因此，只有 (axequiv kcdot gcd(a,m)(mod m)) 是有解的

因此，(a) 有逆元的充要条件为 (gcd(a,m)=1)

逆元的性质

我们证明，逆元在取模意义下是唯一的：设 (b,c) 同时是 (a) 的逆元，且 (b otequiv c(mod m))

则 (bequiv bcdot 1equiv bcdot(acdot c)equiv (bcdot a)cdot cequiv 1cdot cequiv c(mod m))

与条件相悖，故 (bequiv c(mod m))

故我们知道，对于一个剩余类，它的逆元是唯一的

但对于一个数，它的逆元是无穷多个的，我们一般称 (0leq a^{-1}<m) 的那个为逆元

额外的，逆元还具有积性：

((ab)^{-1}equiv a^{-1}cdot b^{-1}(mod m))

根据拓展欧几里得算法(exgcd)可以求出确定的

(ax+my=gcd(a,m)) 的 (x,y)

若 (gcd(a,m)=1) 则 (a) 有一个逆元为 (x)

故所求逆元为 (( (xmod m)+m)mod m)

int x,y,g=exgcd(a%m,m,x,y),inv;
if(g==1) inv=(x%m+m)%m;

同时，由于 (gcd(a,m)=1) 我们还可以根据欧拉定理

(a^{-1}cdot aequiv 1equiv a^{oldsymbolvarphi(m)-1}equiv a^{oldsymbolvarphi(m)-2}cdot a(mod m))

故 (a^{-1}equiv a^{oldsymbolvarphi(m)-2}(mod m))

int inv=fpow(a%m,phi(m)-2,m);