题解 P1403 【[AHOI2005]约数研究】

看到题解区很多人直接给出结论：答案为 \(\displaystyle \sum_{i=1}^n\lfloor{n\over i}\rfloor\) ，没给出证明，这里给出证明

【分析】

首先，我们可以知道 \(\displaystyle f(n)=\sum_{d\mid n}1\)

有的同学看不懂这个公式，我解释一下，这个公式表达：

枚举 \(n\) 的因数 \(d\)，每枚举一个因数 \(d\)， \(f(n)\) 加 \(1\)

\(d\mid n\) 指 \(d\) 是 \(n\) 的因数

这样一来，我们就可以和题目的对应上了： \(f(n)\) 代表 \(n\) 的因数个数

\(\displaystyle f(n)=\sum_{d\mid n}1\) 还有一种表达方式是 \(\displaystyle f(n)=\sum_{d=1}^n[d\mid n]\)

后面那个鬼东西 \([d\mid n]\) 是一个判断正误的函数，正确为 \(1\) ，错误为 \(0\)

这个应该理解起来也不难：

枚举每一个数 \(d\) ，当 \(d\) 是 \(n\) 的因数时， \(f(n)\) 加 \(1\)

题目要求的 \(\displaystyle M=\sum_{i=1}^n f(i)\)

我们代入上面的定义式：

\(\quad \displaystyle M\)

\(\displaystyle=\sum_{i=1}^n\sum_{d\mid i}1\)

\(\displaystyle=\sum_{i=1}^n\sum_{d=1}^i[d\mid i]\)

我们调换一下枚举的顺序，把 \(d\) 的枚举提前。

相当于考虑 \(d=1\) 时，对 \(i=1,2,3\dots n\) 的贡献； \(d=2\) 时对 \(i=1,2,3\dots n\) 的贡献； \(\dots\) ；\(d=n\) 时对 \(i=1,2,3\dots n\) 的贡献

\(\displaystyle=\sum_{d=1}^n\sum_{i=1}^n[d\mid i]\)

对于一个固定的 \(d\) ，\(\displaystyle\sum_{i=1}^n[d\mid i]\) 的意义非常直观：

\(1\)~\(n\) 中，有多少个数以 \(d\) 为因数，即多少个数是 \(d\) 的倍数

应该是 \(\lfloor{n\over d}\rfloor\) 吧

所以我们得到 \(\displaystyle M=\sum_{d=1}^n\lfloor{n\over d}\rfloor\)

那本蒟蒻就放 ~~我码风极丑的~~ 代码了：

C++ 版：

#include<iostream>
using namespace std;
int main(){
    int n,ans=0;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) ans+=n/i;
    cout<<ans;
}

Python 3 版：

ans=0
n=int(input())
for i in range(1,n+1):
    ans+=n//i
print(ans)