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课程第2章从李群与李代数的角度介绍三维空间的刚体运动。李群即常见的旋转矩阵、变换矩阵，李代数与李群对应，李代数 (se(3)) 是所有三维反对称阵的集合。
将李代数映射到李群，使得旋转与变换可微，并且消除了旋转矩阵的约束条件（$ R^TR = I, det(R) = 1 $）对优化的约束，能够在无约束条件下进行位姿的优化。
1. 三维空间与刚体运动
三维空间是三维欧几里德空间（Euclidean Space）的简称，一般使用笛卡尔坐标系（Cartesian Coordinate System
）描述欧式空间中的点，笛卡尔坐标描述是 $ (x, y, z) in mathbb{E}^3 $ 的形式，这种形式可以用 (mathbb{R}^3) 定义。
于是使用三维向量 $ mathbb{R}^3 $ 描述一个三维点坐标 $ mathbb{E}^3 $。本笔记使用 (mathbb{R}^3) 替代 $ mathbb{E}^3 $，严格意义上将 (mathbb{E}^3) 是笛卡尔坐标，$ mathbb{R}^3 $ 是三维向量。
1.1 叉乘与反对称阵
叉乘（Cross Product）是将两个三维向量映射到一个三维向量：
[ imes : mathbb{R}^3 imes mathbb{R}^3
ightarrow mathbb{R}^3 : u imes v = egin{bmatrix} u_2v_3 - u_3v_2 \ u_3v_1 - u_1v_3 \ u_1v_2 - u_2v_1 end{bmatrix} in mathbb{R}^3
]
叉乘可以可以转化为一个矩阵与向量点乘的形式，方便计算：
[u imes v = hat{u} cdot v, hat{u} = egin{bmatrix} 0 quad -u_3 quad u_2 \ u_3 quad 0 quad -u_1 \ -u_2 quad u_1 quad 0 end{bmatrix}
]
1.2 刚体运动
刚体运动是三维坐标到三维坐标的映射：
[g_t : mathbb{R}^3
ightarrow mathbb{R}^3; X mapsto g_t(X), t in [0, T]
]
$ t $ 是时刻。
刚体运动保持范数（norm）与叉乘不变：
[| g_t(v) | = | v |, forall v in mathbb{R}^3
]
[g_t(u) imes g_t(v) = g_t(u imes v), forall u, v in mathbb{R}^3
]
由以上两个性质与极化恒等式（Polarization Identity）可知刚体运动也保持内积不变。三重积（Triple Product）也是保持变不变，三重积的几何意义是三个向量表示的平行六面体的体积，所以刚体运动保持体积不变。
[<g_t(u), g_t(v) imes g_t(w)> = <u, v imes w>
]
刚体运动可以表示为：
[g_t(x) = Rx + T
]
2. 李群与李代数
2.1 旋转矩阵的导数
在任意时刻的旋转矩阵都是正交的，$ R(t)R^T(t) = I, forall t $，对这个式子左右求导：
[{d over dt}(RR^T) = dot RR^T + R {dot R}^T = 0 Rightarrow dot RR^T = -(dot RR^T)^T
]
所以 (dot RR^T) 是一个反对称阵，所以在任意时刻存在一个向量 (w(t) in mathbb{R}^3) 与 $ dot RR^T $ 对应：
[dot R(t)R^T(t) = hat w(t) Leftrightarrow dot R(t) = hat w R(t)
]
上式表明了任意时刻 $ t $ 的旋转矩阵 (R(t)) 的导数 (dot R(t)) 的计算方法——用一个反对称阵左乘旋转矩阵 (R(t))。
0时刻的旋转矩阵 $ R(0) = I $，在0时刻附近展开：
[R(dt) = R(0) + dR = I + hat w(0) dt
]
2.2 李群 (SO(3)) 与李代数 (so(3))
李群（Lie Group）指连续可微的群，三维空间的旋转是连续的，所以特殊正交集 (SO(3)) 是三维旋转李群对应的矩阵表示。连续是关键。
Def.: A Lie group (or infinitesimal group) is a smooth manifold that is also a group, such that the group operations multiplication and inversion are smooth maps.
$ SO(3) $ 中的微分可以使用反对称阵逼近，反对称阵所在的群叫做李代数（Lie Algebra）：
[so(3) equiv left{ hat w
ight. left| w in mathbb{R}^3
ight}
]
李代数是李群在 (I) 处的切空间（Tangent Space）。$ I $ 对应的是0时刻，以0时刻为基准，认为0时刻不存在旋转。
2.2.1 指数映射
前面推导得到了 $ dot R(t) = hat w R(t) $ 的结论，解微分方程
[egin{cases} dot R(t) = hat w R(t) \ R(0) = Iend{cases}
]
得到
[R(t) = e^{hat w t} = Sigma_{n = 0}^{infty}{ {(hat w t)}^n over n !} = I + hat w t + {{(hat w t)}^2over 2!} + dots
]
当 $ |w| = 1 $ 时 (R(t)) 是绕着轴 $ w in mathbb{R}^3 $ 的旋转，如果将时间 (t) 写入到 (hat w) 中（$ hat w = hat w t $），这样就得到了从李代数到李群的映射：
[exp: so(3)
ightarrow SO(3); hat w mapsto e^{hat w}
]
2.2.2 对数映射
对数映射是将指数映射的逆映射，是从李群 $ SO(3) $ 到李代数 $ so(3) $ 的映射， 可以表示为
[log: SO(3)
ightarrow so(3); R mapsto hat w
]
当 $ R
e I $ 时，
[|w| = {cos}^{-1}left.
ight({trace(R) - 1over 2}left.
ight), {w over | w |} = {1 over sin(|w|)} egin{bmatrix} r_{32} - r_{23} \ r_{13} - r_{31} \ r_{21} - r_{12} end{bmatrix}
]
当 $ R = I $ 时，$$ w = 0 $$
2.2.3 罗德里格公式
指数映射部分将 (R(t)) 用一无穷级数表示，如何求取这个无穷级数呢？这就需要用到罗格里格公式（Rodrigues' Rotation Formula），对于 $ hat w in so(3) $：
[e^{hat w} = I + {hat w over | w |}sin(| w |) + {hat w^2 over | w |^2}(1- cos(| w |))
]
2.3 李群 (SE(3)) 与李代数 (se(3))
$ SE(3) $ 表示刚体运动，包括旋转和平移，在齐次坐标下定义为：
[SE(3) equiv left{ g = egin{bmatrix} R quad T \ 0 quad 1 end{bmatrix}left.
ight| R in SO(3), T in mathbb{R}^3
ight} subset mathbb{R}^{4 imes 4}
]
旋转矩阵求导能够直接得出旋转矩阵的导数 $ dot R(t) = hat w R(t) $，但 $ SE(3) $ 不具有这种性质，为了保持表达形式的一致，仿照 (SO(3)) 与 (so(3)) 定义 (se(3))。
$ g $ 是刚体变换映射：
[g: mathbb{R}
ightarrow SE(3); g(t) = egin{bmatrix} R(t) & T(t) \ 0 & 1 end{bmatrix} in mathbb{R}^{4 imes 4}
]
$ g $ 是一个 (4 imes 4) 的矩阵，但是并不是一个正交阵，不具备 $ g g^T = I $ 的性质，但是作为一个可逆矩阵 $ gg^{-1} = I Rightarrow dot g g^{-1} = (dot g g)^{-1}$，然后就如下考虑：
[dot g (t) g^{-1}(t) = egin{bmatrix} dot R R^T & dot T - dot R R^T T \ 0 & 0end{bmatrix} in mathbb{R}^{4 imes4}
]
前面 $ SO(3) $ 部分可知 $ dot R R^T = hat w, hat win so(3) $，定义一个新的向量 $ v(t) equiv dot T(t) - hat w(t)T(t) $，于是有：
[dot g (t) g^{-1}(t) = egin{bmatrix} hat w(t) & v(t) \ 0 & 0end{bmatrix} equiv hat xi(t) in mathbb{R}^{4 imes4}
]
进一步求 (dot g)：
[dot g = dot g g^{-1}g = hat xi g
]
公式中的 (hatxi) 称作 twist （twist 有旋转运动加平移运动的意思，可查 Screw Theory）。
(se(3)) 的定义：
[se(3) equiv left{ hat xi = egin{bmatrix} hat w & v \ 0 & 0 end{bmatrix} left.
ight| hat w in so(3), v in mathbb{R}^3
ight} subset mathbb{R}^{4 imes 4}
]
$ hat xi $ 是 twist，$ xi in mathbb{R}^6 $ 称作 twist coordinates，两者的完整定义如下：
[hat xi equiv { egin{bmatrix} v \ w end{bmatrix} }^{hat{}} equiv egin{bmatrix} hat w & v \ 0 & 0 end{bmatrix} in mathbb{R}^{4 imes4}
]
[xi equiv { egin{bmatrix} v \ w end{bmatrix} } equiv {egin{bmatrix} hat w & v \ 0 & 0 end{bmatrix}}^{check{}} in mathbb{R}^{6}
]
$ v $ 是在 (R) 旋转后的坐标系的线速度，(w) 是角速度。
2.3.1 指数映射
求 (se(3))，解微分方程
[egin{cases} dot g(t) = hat xi g(t), hat xi = const \ g(0) = I end{cases}
]
得
[g(t) = e^{hat xi t} = Sigma_{n = 0}^{infty} { (hat xi t)^n over n !}
]
当 (w = 0) 时，
[e^{hat xi} = egin{bmatrix} I & v \ 0 & 1 end{bmatrix}
]
当 (w
e 0) 时，
[e^{hat xi} = egin{bmatrix} e^{hat w} & {(1 - e^{hat w})hat wv + ww^Tv over |w|^2} \ 0 & 1 end{bmatrix}
]
2.3.2 对数映射
先利用 $ e^{hat xi} $ 左上角 (3 imes3) 的矩阵计算出 (w) ，随后用右上角 (3 imes1) 的式子计算 (v)。
3. 相机运动
相机是刚体，相机的运动是刚体运动，可以使用旋转和平移表示。
一般使用 (g(t)) 表示相机在 (t) 时刻相对世界坐标系的位置姿态：
[g(t) = egin{bmatrix} R(t) & T(t) \ 0 & 1 end{bmatrix} in SE(3)
]
一般定义相机在0时刻的坐标系为世界坐标系，在世界坐标系中一点的坐标为 (X_0)，该点在 (t) 时刻的相机坐标系下的坐标为 (X(t))：
[X(t) = R(t) X_0 + T(t)
]
在齐次坐标系下：
[X(t) = g(t) X_0
]
3.1 相机运动的链接
两个不同时刻 (t_1, t_2) 世界坐标系下的点 (X_0) 的坐标为 (X(t_2), X(t_1))，(X(t_2), X(t_1)) 之间的关系是：
[X(t_2) = g(t2, t1)X(t_1)
]
$ g(t_2, t_1) $ 表示 (t_2) 相对 (t_1) 的位姿，通过以下方程即可得到 (g(t_2, t_1)) 与 $ g(t_1), g(t_2) $ 的关系。
[egin{cases} X(t_2) = g(t_2)X_0 \ X(t_1) = g(t_1)X_0 end{cases}
]
如果存在3个时刻 $ t_1, t_2, t_3 $ ：
[X(t_3) = g(t_3, t_2) X_2 = g(t_3, t_2) g(t_2, t_1) X_1 = g(t_3, t_1)X_1
]
[g(t_3, t_1) = g(t_3, t_2) g(t_2, t_1)
]
$ g(t_2, t_1) $ 的逆是 (t_1) 相对 (t_2) 的位姿 $ g(t_1, t_2) $：
[g(t_1, t_2)g(t_2, t_1)=I Leftrightarrow g^{-1}(t_2, t_1)=g(t_1, t_2)
]
3.2 速度变换
对 $ X(t) = g(t) X_0 $ 求导：
[dot X(t) = dot g(t) X_0 = dot g(t)g^{-1}(t)X(t)
]
定义
[hat V(t) equiv dot g(t)g^{-1}(t) = egin{bmatrix} hat w(t) & v(t) \ 0 & 0 end{bmatrix} in se(3)
]
于是
[dot X(t) = hat V(t)X(t)
]
在非齐次坐标系中
[dot X(t) = hat w(t) X(t) + v(t)
]