SW算法求全局最小割(Stoer-Wagner算法）

似乎是一个冷门算法，连oi-wiki上都没有，不过洛谷上竟然有它的模板题，并且2017百度之星的资格赛还考到了。于是来学习一下。

一些定义

无向图的（全局）最小割：一个边权和最小的边集，断掉后图不联通。

算法

我们自然可以直接钦定一个 (S)，枚举 (T)，求最小割，其中最小值即为答案。不过复杂度过于高，大概是 (O(n^3m))，当遇到稠密图的时候，就是 (O(n^5))。（尽管这个复杂度非常虚，靠信仰或许能通过题）如果我们用最小割树，复杂度不会变。因此我们需要一个更快捷的方法。

流程

（没写证明是因为不会证明）

设 (w[p]) 表示点集外一点 (p) 到当前维护的点集中所有点的权值和（类似加权度数）。

找到当前图中 (w[p]) 最大的点 (p)，将 (p) 加入到当前集合，并更新其它 (w[p])。
若集合不为全集，则重复 1 操作。
设最后加入点集的两点为 (s, t)（..., (s), (t))，最后的 (w[t]) 即为 (s, t) 的最小割。用此最小割更新答案，并合并 (s, t).
若当前点数仍大于2，则清空集合，回到 1 操作。

由此可知，SW 算法的复杂度是 (O(n^3))。

关键代码

使用邻接矩阵更方便。

int v[N][N], w[N], s, t;//邻接矩阵，加权度数，源汇
bool del[N], vis[N];//是否因合并被删除，是否在点集里
inline int search() {//将点逐个加入点集，得到s,t,s-t最小割
	memset(w, 0, sizeof(w));
	memset(vis, 0, sizeof(vis));//清空集合
	s = 0, t = 0;
	int res = inf;
	while(1) {
		int p = 0, mx = -inf;
		for (register int i = 1; i <= n; ++i) if (!del[i] && !vis[i])
			if (w[i] > mx)	mx = w[i], p = i;
		vis[p] = true;
		if (!p)	return res;//没有点集以外的点了
		s = t, t = p;
		res = w[p];
		for (register int i = 1; i <= n; ++i) if (!del[i] && !vis[i])
			w[i] += v[i][p];
	}
}
inline void SW() {//更新答案，合并
	int ans = inf;
	for (register int i = 1; i < n; ++i) {
		MIN(ans, search());
		if (!ans)	break;
		del[t] = true;
		for (register int j = 1; j <= n; ++j) if (!del[j]) {
			v[s][j] += v[t][j];
			v[j][s] += v[j][t];//无向图合并
		}
	}
	printf("%d
", ans);
}

感性理解

博客里说和 prim 算法有关系，但是我并不精通 prim 算法，因此理解起来会很费劲。

~~现在我要发挥shadowice精神了~~

纯属口胡，无任何逻辑。

(w[p]) 为 (p) 到点集的“加权度数”，可以衡量 (p) 与点集的“紧密度”。我们每次首先选择与点集“紧密度”更大的点加入点集，最后加入的 (s, t) 就是与图“紧密度”最小的点了，因此 (w[t]) 是将 (t) 这个最“边远”的点割离图的最小费用。

如果 (s, t) 在最终的最小割中不在同一连通块，那么答案会被这一轮计算出来；如果 (s, t) 在同一连通块，那么合并 (s, t) 也对答案没有影响。