动态规划之01背包问题和三角形问题

01背包问题

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。

状态：用f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值，其状态转移方程为f[i][v]=max{ f[i-1][v], f[i-1][v-c[i]]+w[i] }。

复杂度分析：

状态数：O(NV), 迁移：O(1)

总复杂度：O(NV)

状态f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。

对于“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。

如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为f[i-1][v]；

如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。

n状态转移方程：

f[i][v]=max{ f[i-1][v], f[i-1][v-c[i]]+w[i] }

时间复杂度O(NV)

由于计算f[i][v]时只用到f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]，在每次主循环中我们以v=V..0的顺序推f[v]，这样就保证推f[v]时f[v-c[i]]保存的是状态f[i-1][v-c[i]]的值，f[v]保存的是状态f[i-1][v]的值。

n伪代码如下：

for i=1..N

for v=V..cost

f[v]=max{f[v], f[v-c[i]] + w[i]};

空间复杂度成功降到O(V)

       // 01背包问题
        public static void Pack(int[] cost, int[] weight, int v)
        {
            int[] volumn = new int[v + 1];
            volumn[0] = 0; //空间复杂度成功降到O(V),如果用二维数组则为o(NV)


            for (int i = 1; i < v + 1; i++)
            {
               // 1). 如果背包并非必须被装满，那么任何容量的背包都有一个合法解“什么都不装”，
                // 这个解的价值为0，所以初始时状态的值也就全部为0了
                // volumn[i] = 0;

                //2). 如果要求背包恰好装满，
                // 那么此时只有容量为0的背包可能被价值为0的nothing“恰好装满”，其它容量的背包均没有合法的解，
                // 属于未定义的状态，它们的值就都应该是-∞了。
                volumn[i] = int.MinValue; 
              
            }

            for (int j = 0; j < cost.Length; j++)
            {
                for (int t = v; t >= cost[j]; t--)
                {
                  
                    if (t >= cost[j]) // 容量要大于物体容积，才可能把物体放进去。
                    {
                        volumn[t] = Math.Max(volumn[t], volumn[t - cost[j]] + weight[j]);
                          // f[i][v] = Max{f[i-1][[v], f[i-1][v-c[i]] +w[i]}
                    }                    
                }
            }
        }

 数字三角形问题 
给定一个具有N层的数字三角形，从顶至底有多条路径，每一步可沿左斜线向下或沿右斜线向下，路径所经过的数字之和为路径得分，请求出最小路径得分

6 2

1 8 4

1 5 6 8

数字三角形

// 利用01背包问题的思路解决数字三角形问题.
        public static void ShortPath(int n)
        {
            //       2
            //    6   2
            //  1   8   4
            //1   5   6   8

            //  数字三角形 

            int[][] array = new int[4][];

            array[0] = new int[] { 2 };
            array[1] = new int[] { 6, 2 };
            array[2] = new int[] { 1, 8, 4 };
            array[3] = new int[] { 1, 5, 6, 8 };

            int[] value = new int[n];

            for (int k = 0; k < n; k++)
            {
                value[k] = array[n - 1][k];
            }

           // 递推关系式：f(i)(j) = min{f(i+1)(j), f(i+1)(j+1)} + array[i][j]

            for (int i = n - 2; i >= 0; i--)
            {
                for (int j = 0; j <= i; j++)
                {
                    value[j] = Math.Min(value[j], value[j + 1]) + array[i][j];

                    //递推关系式：f(i)(j) = min{f(i+1)(j), f(i+1)(j+1)} + array[i][j]
                    // 左下角，（x+1,y)，右下角的线(X+1, y+1)
                }
            }
        }