01背包问题

参考：

https://blog.csdn.net/yandaoqiusheng/article/details/84782655

https://blog.csdn.net/qq_38410730/article/details/81667885

题目

有N件物品和一个容量为V的背包。第iii件物品的费用是w[i]，价值是v[i]，求将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

01背包的模型以及解释

Vi表示第 i 个物品的价值，Wi表示第 i 个物品的体积，定义V(i,j)：当前背包容量 j，前 i 个物品最佳组合对应的价值

递推关系式：

包的容量比该商品体积小，装不下，此时的价值与前i-1个的价值是一样的

即V(i,j)=V(i-1,j)；
还有足够的容量可以装该商品，但装了也不一定达到当前最优价值，所以在装与不装之间选择最优的一个，即V(i,j)=max｛V(i-1,j)，V(i-1,j-w(i))+v(i)｝。
3. 代码

#include<iostream>
using namespace std;
#include <algorithm>
 
int main()
{
    //注意从1开始，0的位置都置零
	int w[5] = { 0 , 2 , 3 , 4 , 5 };			//商品的体积2、3、4、5
	int v[5] = { 0 , 3 , 4 , 5 , 6 };			//商品的价值3、4、5、6
	int bagV = 8;					        //背包大小
	int dp[5][9] = { { 0 } };			        //动态规划表
 
	for (int i = 1; i <= 4; i++) {
		for (int j = 1; j <= bagV; j++) {
			if (j < w[i])//该物品太大放不进去
				dp[i][j] = dp[i - 1][j];
			else
				dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - w[i]] + v[i]);
		}
	}
 
	//动态规划表的输出
	for (int i = 0; i < 5; i++) {
		for (int j = 0; j < 9; j++) {
			cout << dp[i][j] << ' ';
		}
		cout << endl;
	}
 
	return 0;
}

结果即dp[4][8]就是最后的答案：能拥有的最多的价值

最优解回溯
通过上面的方法可以求出背包问题的最优解，但还不知道这个最优解由哪些商品组成，故要根据最优解回溯找出解的组成，根据填表的原理可以有如下的寻解方式：

V(i,j)=V(i-1,j)时，说明没有选择第i 个商品，则回到V(i-1,j)；
V(i,j)=V(i-1,j-w(i))+v(i)时，说明装了第i个商品，该商品是最优解组成的一部分，随后我们得回到装该商品之前，即回到V(i-1,j-w(i))；
一直遍历到i＝0结束为止，所有解的组成都会找到。

代码

#include<iostream>
using namespace std;
#include <algorithm>
 
int w[5] = { 0 , 2 , 3 , 4 , 5 };			//商品的体积2、3、4、5
int v[5] = { 0 , 3 , 4 , 5 , 6 };			//商品的价值3、4、5、6
int bagV = 8;					        //背包大小
int dp[5][9] = { { 0 } };			        //动态规划表
int item[5];					        //最优解情况
 
void findMax() {					//动态规划
	for (int i = 1; i <= 4; i++) {
		for (int j = 1; j <= bagV; j++) {
			if (j < w[i])
				dp[i][j] = dp[i - 1][j];
			else
				dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - w[i]] + v[i]);
		}
	}
}
 
void findWhat(int i, int j) {				//最优解情况
	if (i >= 0) {
		if (dp[i][j] == dp[i - 1][j]) {
			item[i] = 0;
			findWhat(i - 1, j);
		}
		else if (j - w[i] >= 0 && dp[i][j] == dp[i - 1][j - w[i]] + v[i]) {
			item[i] = 1;
			findWhat(i - 1, j - w[i]);
		}
	}
}
 
void print() {
	for (int i = 0; i < 5; i++) {			//动态规划表输出
		for (int j = 0; j < 9; j++) {
			cout << dp[i][j] << ' ';
		}
		cout << endl;
	}
	cout << endl;
 
	for (int i = 0; i < 5; i++)			//最优解输出
		cout << item[i] << ' ';
	cout << endl;
}
 
int main()
{
	findMax();
	findWhat(4, 8);
	print();
 
	return 0;
}

优化空间复杂度
以上方法的时间和空间复杂度均为O(VN)，其中时间复杂度已经不能再优化了，但空间复杂度却可以优化到O(N)。
先考虑上面讲的基本思路如何实现，肯定是有一个主循环i=1...N，每次算出来二维数组f[i][0...V]的所有值。那么，如果只用一个数组f[0...V]，能不能保证第i次循环结束后f[j]中表示的就是我们定义的状态f[i][j]呢？f[i][j]是由f[i−1][j]和f[i−1][j−w[i]]两个子问题递推而来，能否保证在推f[i][j]时（也即在第i次主循环中推f[j]时）能够得到f[i−1][j]和f[i−1][j−w[i]]的值呢？事实上，这要求在每次主循环中我们以j=V...0的顺序推f[j]，这样才能保证推f[j]时f[j−w[i]]保存的是状态f[i−1][j−w[i]]的值。至于为什么下面有详细解释。代码如下：

for (int i = 1; i <= n; i++) {
     for (int j = m; j >= 1; j--) {
         if (weight[i] <= j) {
             f[j] = f[j] > f[j - weight[i]] + value[i] ? f[j] : f[j - weight[i]] + value[i];
         }
     }
}

简化后：

for (int i = 1; i <= n; i++)
    for (int j = V; j >= w[i]; j--)
        f[j] = max(f[j], f[j - w[i]] + v[i]);

初始化的细节问题
我们看到的求最优解的背包问题题目中，事实上有两种不太相同的问法。有的题目要求"恰好装满背包"时的最优解，有的题目则并没有要求必须把背包装满。这两种问法的区别是在初始化的时候有所不同。
如果是第一种问法，要求恰好装满背包，那么在初始化时除了f[0]为0其它f[1...V]均设为−∞，这样就可以保证最终得到的f[N]是一种恰好装满背包的最优解。

这样在最后判断的时候如果dp数组的值为负的话就表示背包不能完全装满

如果并没有要求必须把背包装满，而是只希望价格尽量大，初始化时应该将f[0...V]全部设为0。
为什么呢？可以这样理解：初始化的f数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时的合法状态。如果要求背包恰好装满，那么此时只有容量为0的背包可能被价值为0的nothing“恰好装满”，其它容量的背包均没有合法的解，属于未定义的状态，它们的值就都应该是−∞了。如果背包并非必须被装满，那么任何容量的背包都有一个合法解“什么都不装”，这个解的价值为0，所以初始时状态的值也就全部为0了。这个小技巧完全可以推广到其它类型的背包问题，后面也就不再对进行状态转移之前的初始化进行讲解。