SPFA

算法介绍：

　　SPFA(Shortest Path Faster Algorithm)是Bellman-Ford算法的一种队列实现，减少了不必要的冗余计算。

算法流程：

　　　算法大致流程是用一个队列来进行维护。初始时将源加入队列。每次从队列中取出一个元素，并对所有与他相邻的点进行松弛，若某个相邻的点松弛成功，则将其入队。直到队列为空时算法结束。

这个算法，简单的说就是队列优化的bellman-ford,利用了每个点不会更新次数太多的特点发明的此算法

　　SPFA——Shortest Path Faster Algorithm，它可以在O(kE)的时间复杂度内求出源点到其他所有点的最短路径，可以处理负边。SPFA的实现甚至比Dijkstra或者Bellman_Ford还要简单：

　　设Dist代表S到I点的当前最短距离，Fa代表S到I的当前最短路径中I点之前的一个点的编号。开始时Dist全部为+∞，只有Dist[S]=0，Fa全部为0。

　　维护一个队列，里面存放所有需要进行迭代的点。初始时队列中只有一个点S。用一个布尔数组记录每个点是否处在队列中。

　　每次迭代，取出队头的点v，依次枚举从v出发的边v->u，设边的长度为len，判断Dist[v]+len是否小于Dist[u]，若小于则改进Dist[u]，将Fa[u]记为v，并且由于S到u的最短距离变小了，有可能u可以改进其它的点，所以若u不在队列中，就将它放入队尾。这样一直迭代下去直到队列变空，也就是S到所有的最短距离都确定下来，结束算法。若一个点入队次数超过n，则有负权环。

　　SPFA 在形式上和宽度优先搜索非常类似，不同的是宽度优先搜索中一个点出了队列就不可能重新进入队列，但是SPFA中一个点可能在出队列之后再次被放入队列，也就是一个点改进过其它的点之后，过了一段时间可能本身被改进，于是再次用来改进其它的点，这样反复迭代下去。设一个点用来作为迭代点对其它点进行改进的平均次数为k，有办法证明对于通常的情况，k在2左右。 在实际的应用中SPFA的算法时间效率不是很稳定，为了避免最坏情况的出现，通常使用效率更加稳定的Dijkstra算法。

代码实现：

/*************************************************************************
    > File Name: SPFA.cpp
    > Author: He Xingjie
    > Mail: gxmshxj@163.com
    > Created Time: 2014年06月12日 星期四 18时24分37秒
    > Description: 
 ************************************************************************/
#include<iostream>
#include<queue>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<stack>

using namespace std;

#define MAX 50 
#define INF 65535

typedef struct Edge{
    int w;        //边的权值
    int end;    //边的终点
}Edge;

vector<Edge> e[MAX];    //动态数组模拟邻接链表存储
queue<int> que;        //存储节点
int dist[MAX], pre[MAX];
bool in[MAX];    //标识是否在队列里面
int cnt[MAX];    //记录入队次数
int V, E;    //顶点数和边数

int Init()
{
    int st, end, weight;
    cin>>V>>E;
    for (int i=0; i < E; i++)
    {
        cin>>st>>end>>weight;
        Edge tmp;
        tmp.w = weight;
        tmp.end = end;
        e[st].push_back(tmp);    //存入vector
    }

    for (int i=0; i< V; i++)
    {
        dist[i]= INF;
        cnt[i] = 0;
        in[i] = false;
        pre[i] = 0;
    }
}

bool SPFA(int st)
{
    int i, v, end; 

    dist[st] = 0;
    que.push(st);
    in[st] = true;
    cnt[st]++;
    while (!que.empty())
    {
        v = que.front();
        que.pop();
        in[v] = false;

        for (i=0; i<e[v].size(); i++)
        {
            Edge t = e[v][i];    //取出邻接边
            int end = t.end;    //记录与v邻接的节点

            if (dist[end] > dist[v] + t.w)    //更新路径权值,v->end的权值为w
            {
                dist[end] = dist[v] + t.w;
                pre[end] = v;    //记录前一个节点
            }
            if (!in[end])    //不在队列里面
            {
                que.push(end);
                in[end] = true;
                cnt[end]++;
                if (cnt[end] > V)    //入队次数大于V次
                {
                    while (!que.empty())    //清空队列
                    {
                        que.pop();
                    }
                    return false;
                }
            }
        }
    }
    return true;
}

void ShowPath()
{
    int i;
    stack<int> st;

    for (i=0; i<V; i++)
    {
        st.push(i);
        int tmp = pre[i];
        while (tmp != 0)
        {
            st.push(tmp);
            tmp = pre[tmp];
        }

        cout<<"1";
        while (!st.empty())
        {
            tmp = st.top();
            st.pop();
            cout<<"->"<<tmp+1;
        }
        cout<<" : "<<dist[i]<<endl;
    }
}

int main()
{
    bool ret;

    freopen("input.txt", "r", stdin);
    Init();
    ret = SPFA(0);
    
    ShowPath();

    if (ret)
        cout<<"No Negative circle"<<endl;
    else
        cout<<"Exit Negative circle"<<endl;

    return 0;
}

2014/6/13  23:38

输入数据：

输出数据：

参考：

http://www.nocow.cn/index.php/SPFA