HOG特征简介
HOG 全称为 Histogram of Oriented Gradients ，即方向梯度的直方图。HOG 是由 Navneet Dalal & Bill Triggs 在 CVPR 2005发表的论文中提出来的，
目的是为了更好的解决行人检测的问题。先来把这几个字拆开介绍，首先，梯度的概念和计算梯度的方法已经在前一篇文章中介绍了，方向梯度就是说梯度的方向我们也要利用上，
在前一篇中我们只是用到了梯度大小，直方图是个新的概念，所以下面先来介绍直方图。
直方图
假如有这么一个3x3的矩阵：
要算它的直方图，我们先要选定一个取值的间隔，比如取10，那么0-9看成一类、10-19看成一类，如此类推，那么0-9有{6、5、9} 3个，10-19有{12、17}两个，
那么方向梯度的直方图，统计的就是某个方向区间内的梯度的大小（voting vector，不知道怎么翻译，投票向量？）。
HOG特征图详解
左边的原图是个疑似是双马尾萝莉塔装的妹子的灰度图，也别问我为何这么熟练，最右边的就是我们上一期使用的 Sobel 算子对原图卷积以后得到的梯度图。
先看红色的格子：
红色的格子称为 cell（细胞、监牢），是计算直方图的基本单位，也是个固定大小的格子，典型值是 8x8 个像素。
在这些所有的 8x8 的 cell 上单独计算直方图，我们知道直方图要自己指定 x 轴设置多少个区间，典型值是 9，x 轴表示的是梯度的方向，
也就是把梯度方向割成 9 个区间，梯度方向的范围我们指定为 0 ~ 180°，也就是每个区间范围是 20°，像这样：
计算方向梯度直方图
第一步：预处理
Patch可以是任意的尺寸，但是有一个固定的比列，比如当patch长宽比1:2，那patch大小可以是100*200, 128*256或者1000*2000但不可以是101*205。
这里有张图是720*475的，我们选100*200大小的patch来计算HOG特征，把这个patch从图片里面抠出来，然后再把大小调整成64*128。
第二步：计算梯度图像
首相我们计算水平和垂直方向的梯度，再来计算梯度的直方图。可以用下面的两个kernel来计算，
也可以直接用OpenCV里面的kernel大小为1的Sobel算子来计算。
调用OpenCV代码如下：
// C++ gradient calculation.
// Read image
Mat img = imread("bolt.png");
img.convertTo(img, CV_32F, 1/255.0);
// Calculate gradients gx, gy
Mat gx, gy;
Sobel(img, gx, CV_32F, 1, 0, 1);
Sobel(img, gy, CV_32F, 0, 1, 1);
# Python gradient calculation
# Read image
im = cv2.imread('bolt.png')
im = np.float32(im) / 255.0
# Calculate gradient
gx = cv2.Sobel(img, cv2.CV_32F, 1, 0, ksize=1)
gy = cv2.Sobel(img, cv2.CV_32F, 0, 1, ksize=1)
接着，用下面的公式来计算梯度的幅值g和方向theta:
可以用OpenCV的cartToPolar函数来计算：
// C++ Calculate gradient magnitude and direction (in degrees)
Mat mag, angle;
cartToPolar(gx, gy, mag, angle, 1);
# Python Calculate gradient magnitude and direction ( in degrees )
mag, angle = cv2.cartToPolar(gx, gy, angleInDegrees=True)
计算得到的gradient图如下：
从上面的图像中可以看到x轴方向的梯度主要凸显了垂直方向的线条，y轴方向的梯度凸显了水平方向的梯度，
梯度幅值凸显了像素值有剧烈变化的地方。(注意：图像的原点是图片的左上角，x轴是水平的，y轴是垂直的)
图像的梯度去掉了很多不必要的信息(比如不变的背景色)，加重了轮廓。换句话说，你可以从梯度的图像中还是可以轻而易举的发现有个人。
在每个像素点，都有一个幅值(magnitude)和方向，对于有颜色的图片，会在三个channel上都计算梯度。
那么相应的幅值就是三个channel上最大的幅值，角度(方向)是最大幅值所对应的角。
第三步：在8*8的网格中计算梯度直方图
在这一步，上面的patch图像会被分割成8*8大小的网格(如下图)，每个网格都会计算一个梯度直方图。那为什么要分成8*8的呢？
用特征描述子的一个主要原因是它提供了一个紧凑(compact)/压缩的表示。一个8*8的图像有8*8*3=192个像素值，
每个像素有两个值(幅值magnitude和方向direction，三个channel取最大magnitude那个)，加起来就是8*8*2=128，
后面我们会看到这128个数如何用一个9个bin的直方图来表示成9个数的数组。不仅仅是可以有紧凑的表示，用直方图来表示一个patch也可以更加抗噪，
一个gradient可能会有噪音，但是用直方图来表示后就不会对噪音那么敏感了。
对于64*128的这幅patch来说，8*8的网格已经足够大来表示有趣的特征比如脸，头等等。
直方图是有9个bin的向量，代表的是角度0,20,40,60.....160。
我们先来看看每个8*8的cell的梯度都是什么样子:
中间这个图的箭头是梯度的方向，长度是梯度的大小，可以发现箭头的指向方向是像素强度都变化方向，幅值是强度变化的大小。
右边的梯度方向矩阵中可以看到角度是0-180度，不是0-360度，这种被称之为"无符号"梯度("unsigned" gradients)因为一个梯度和它的负数是用同一个数字表示的，
也就是说一个梯度的箭头以及它旋转180度之后的箭头方向被认为是一样的。那为什么不用0-360度的表示呢？
在事件中发现unsigned gradients比signed gradients在行人检测任务中效果更好。一些HOG的实现中可以让你指定signed gradients。
下一步就是为这些8*8的网格创建直方图，直方图包含了9个bin来对应0,20,40,...160这些角度。
下面这张图解释了这个过程。我们用了上一张图里面的那个网格的梯度幅值和方向。根据方向选择用哪个bin, 根据副值来确定这个bin的大小。
先来看蓝色圈圈出来的像素点，它的角度是80，副值是2，所以它在第五个bin里面加了2，再来看红色的圈圈出来的像素点，它的角度是10，副值是4，
因为角度10介于0-20度的中间(正好一半)，所以把幅值一分为二地放到0和20两个bin里面去。
这里有个细节要注意，如果一个角度大于160度，也就是在160-180度之间，我们知道这里角度0，180度是一样的，所以在下面这个例子里，
像素的角度为165度的时候，要把幅值按照比例放到0和160的bin里面去。
把这8*8的cell里面所有的像素点都分别加到这9个bin里面去，就构建了一个9-bin的直方图，上面的网格对应的直方图如下:
这里，在我们的表示中，Y轴是0度(从上往下)。你可以看到有很多值分布在0,180的bin里面，这其实也就是说明这个网格中的梯度方向很多都是要么朝上，要么朝下。
第四步: 16*16块归一化
上面的步骤中，我们创建了基于图片的梯度直方图，但是一个图片的梯度对于整张图片的光线会很敏感。如果你把所有的像素点都除以2，
那么梯度的幅值也会减半，那么直方图里面的值也会减半，所以这样并不能消除光线的影响。所以理想情况下，我们希望我们的特征描述子可以和光线变换无关，
所以我们就想让我们的直方图归一化从而不受光线变化影响。
先考虑对向量用l2归一化的步骤是:
v = [128, 64, 32]
[(128^2) + (64^2) + (32^2) ]^0.5=146.64
把v中每一个元素除以146.64得到[0.87,0.43,0.22]
考虑另一个向量2*v，归一化后可以得到向量依旧是[0.87, 0.43, 0.22]。你可以明白归一化是把scale给移除了。
你也许想到直接在我们得到的9*1的直方图上面做归一化，这也可以，但是更好的方法是从一个16*16的块上做归一化，也就是4个9*1的直方图组合成一个36*1的向量，
然后做归一化，接着，窗口再朝后面挪8个像素(看动图)。重复这个过程把整张图遍历一边。
第五步：计算HOG特征向量
为了计算这整个patch的特征向量，需要把36*1的向量全部合并组成一个巨大的向量。向量的大小可以这么计算:
- 我们有多少个16*16的块？水平7个，垂直15个，总共有7*15=105次移动。
- 每个16*16的块代表了36*1的向量。所以把他们放在一起也就是36*105=3780维向量。
我们计算的时候先看方向矩阵，首先左上角的值是 90度，那就落在了 80-100 的区间，幅值矩阵对应位置的值是 6，因此 80-100 这个区间的 y 轴值加 6。
计算直方图的函数代码实现是这样的：
'''
函数名称：calc_hist
功能：计算直方图
输入：
mag 幅值矩阵
angle 角度矩阵，范围在 0-180
bin_size 直方图区间大小
输出：
hist 直方图
'''
def calc_hist(mag, angle, bin_size=9):
hist = np.zeros((bin_size,), dtype=np.int32)
bin_step = 180 // bin_size
bins = (angle // bin_step).flatten()
flat_mag = mag.flatten()
for i,m in zip(bins, flat_mag):
hist[i] += m
return hist
有了这个函数就可以做计算 cell 的部分，对应这些代码：
# 将图像切成多个cell
cell_size = 8
bin_size = 9
img_h, img_w = gray.shape[:2]
cell_h, cell_w = (img_h // cell_size, img_w // cell_size)
cells = np.zeros((cell_h, cell_w, bin_size), dtype=np.int32)
for i in range(cell_h):
cell_row = cell_size * i
for j in range(cell_w):
cell_col = cell_size * j
cells[i,j] = calc_hist(mag[cell_row:cell_row+cell_size, cell_col:cell_col+cell_size],
angle[cell_row:cell_row+cell_size, cell_col:cell_col+cell_size], bin_size)
这样子就完成了 cell 部分的计算，接下来看黄格子。
黄色的格子称为 block，是由多个 cell 组合而成的，典型的组合方式是 2x2 个 cell 组成成一个 block，也就是跟图示的一样。
我们知道每个 cell 上面都有一个 9 维的表示直方图大小的向量，那么一个 block 上就有 2x2x9 = 36维的向量，黄格子要做的操作就是把每一次选中的这 36 维向量做规范化（normalization）
，得到新的 36 维向量。规范化的方法有多种可选：
我通常使用的是 L2-Norm， 也就是先对整个向量的各个元素都求平方然后求和、开根号 作为规范化因子，
然后对原向量中每一个元素都除以这个规范化因子，L2 规范化的函数是这样的：
# 归一化cells
def l2_norm(cells):
block = cells.flatten().astype(np.float32)
norm_factor = np.sqrt(np.sum(block**2) + 1e-6)
block /= norm_factor
return block
利用之前得到的 cells 和规范化函数就可以写 黄格子 实现的操作了：
# 多个cell融合成block
block_size = 2
block_h, block_w = (cell_h-block_size+1, cell_w-block_size+1)
blocks = np.zeros((block_h, block_w, block_size*block_size*bin_size), dtype=np.float32)
for i in range(block_h):
for j in range(block_w):
blocks[i,j] = l2_norm(cells[i:i+block_size, j:j+block_size])
把这么多个 block 的 36维向量拼起来就是 HOG 特征描述子（descriptor）了，在这里来说就是把 blocks 这个 3 维的矩阵摊平，也只要一行代码：
blocks = blocks.flatten()
我把整个 HOG 的计算过程封成了一个函数，是这样的：
# 计算HOG特征
def calc_hog(gray):
''' 计算梯度 '''
dx = cv2.Sobel(gray, cv2.CV_16S, 1, 0)
dy = cv2.Sobel(gray, cv2.CV_16S, 0, 1)
sigma = 1e-3
# 计算角度
angle = np.int32(np.arctan(dy / (dx + sigma)) * 180 / np.pi) + 90
dx = cv2.convertScaleAbs(dx)
dy = cv2.convertScaleAbs(dy)
# 计算梯度大小
mag = cv2.addWeighted(dx, 0.5, dy, 0.5, 0)
print('angle
', angle[:8,:8])
print('mag
', mag[:8,:8])
''' end of 计算梯度 '''
# 将图像切成多个cell
cell_size = 8
bin_size = 9
img_h, img_w = gray.shape[:2]
cell_h, cell_w = (img_h // cell_size, img_w // cell_size)
cells = np.zeros((cell_h, cell_w, bin_size), dtype=np.int32)
for i in range(cell_h):
cell_row = cell_size * i
for j in range(cell_w):
cell_col = cell_size * j
cells[i,j] = calc_hist(mag[cell_row:cell_row+cell_size, cell_col:cell_col+cell_size],
angle[cell_row:cell_row+cell_size, cell_col:cell_col+cell_size], bin_size)
# 多个cell融合成block
block_size = 2
block_h, block_w = (cell_h-block_size+1, cell_w-block_size+1)
blocks = np.zeros((block_h, block_w, block_size*block_size*bin_size), dtype=np.float32)
for i in range(block_h):
for j in range(block_w):
blocks[i,j] = l2_norm(cells[i:i+block_size, j:j+block_size])
return blocks.flatten()
假设输入的图片是 64 x 128 的，cell 就会有 8 x 16 = 128个，block 就有 (8-2+1) x (16 - 2 + 1) = 105 个，每个 block 有 36 维向量，总共就是 105 x 36 = 3780维向量，
这个向量就是对应这张图片的 HOG 特征。用其他特征得到的东西也是大同小异，都是不同大小表示不同信息的特征。
特征相当于该物体的 ID，如果同类的物体的特征很相似，我们就说这个特征至少对于该类物体的区分度很好。
拿现在很火的深度神经网络来说，用它做人脸识别的时候，也是输入图片，输出这么一个长长的向量，如果对于同一个人，这些产生的向量的距离很近，
而对于不同人的距离则很远，就说这个神经网络精度很高，但本质的流程和这些人工设计的特征没有任何区别。
介绍完了 HOG特征，私以为徒有这堆向量也没什么卵用，所以想做个示范的应用，但是篇幅有限，知识点不能完全覆盖到，所以接下来讲的东西哪里不懂的另外搜索一下就好。
既然做行人识别，那就看看 HOG 特征对于行人的区分度怎么样。
特征区分度
做这个事情之前首先要介绍一下我使用的公开数据集 INRIA Person，这是一个公开的行人数据集，里面分为正样本和负样本，正样本几乎都是直立的老外行人，负样本是一些风景图片，
可以给大家看一眼，这个数据集也能从网上直接下载。
我会把所有图片缩放到高度 128 和宽度 64，因此每张图片的 HOG 特征长度是 3780，如果我把所有这些 3780 维的向量都放在 3780 维空间上去看它们的分布，
核心代码是这样的，需要 sklearn 和 scipy，可以通过 pip 安装：
from sklearn.decomposition import PCA
import matplotlib.pyplot as plt
# PCA 降维
pca = PCA(n_components=2, copy=True)
data_size = 500
pos_features = pca.fit_transform(pos_features[:data_size])
neg_features = pca.fit_transform(neg_features[:data_size])
# 显示
plt.plot(pos_features[:,0], pos_features[:,1], 'ro')
plt.plot(neg_features[:,0], neg_features[:,1], 'bo')
plt.show()
但是得到的图形是这样的：
蓝色点是行人，红色点是背景。
这种现象原因可能有两个，一个是降维降太多了，二维信息不足以表达原来的 3000 多维的结构；二是我们看这个图形的角度不对 ，正所谓横看成岭侧成峰。假设这是两坨饼，红色一坨蓝色一坨，
这样子不就分成两坨了嘛~
虽然听起来像是在胡说八道，但是所谓什么 SVM 模型啊，深度学习、神经网络等等等等，干的就是这样一件事，改变我们看数据的角度，直到在我们看来是可以一刀切开的两坨，
SVM
所以下面就来训练一个 SVM 模型。
from sklearn import svm
# 合并特征
features = np.concatenate((pos_features[:data_size], neg_features[:data_size]))
labels = np.zeros((data_size*2,), dtype=np.int32)
labels[:data_size] = 1
# SVM分类器
lin_clf = svm.LinearSVC()
lin_clf.fit(features, labels)
features 是正样本和负样本的特征合并起来的一个大矩阵，labels 表示的是每个特征对应的是什么类别，这里我设置了 1 对应行人，0 对应背景。
为什么需要 labels，因为训练模型要用，训练模型跟老师教学生学习很像，我们要先给学生一吨的题，并且告诉他们背后有答案，自己对，
这些题就是 features，答案就是 labels，于是他们做完对完这些题以后我们就希望他们能够举一反三，看到新的题的时候不方。
lin_clf 就是 SVM模型，使用 fit 方法训练，稍等几秒就训练完了。下面就用我喜欢的知名舞见=咬人猫=的照片来测试一下吧，就是题图。
测试代码是：
miao = cv2.imread('miao2.jpg')
miao = cv2.resize(miao, (64,128))
miao = cv2.cvtColor(miao, cv2.COLOR_BGR2GRAY)
miao_feature = calc_hog(miao)
pred_result = lin_clf.predict(np.array([miao_feature]))
结果 pred_result 当然是 1 了，如果不是我就不会放上来了。