BZOJ 1096: [ZJOI2007]仓库建设( dp + 斜率优化 )

dp(v) = min(dp(p)+cost(p,v))+C(v)

设sum(v) = ∑p_i(1≤i≤v), cnt(v) = ∑p_i*x_i(1≤i≤v),

则cost(p,v) = x(v)*(sum(v)-sum(p)) - (cnt(v)-cnt(p))

假设dp(v)由dp(i)转移比dp(j)转移优(i>j),

那么 dp(i)+cost(i,v) < dp(j)+cost(j,v)

即 dp(i)+x(v)*(sum(v)-sum(i))-(cnt(v)-cnt(i)) < dp(j)+x(v)*(sum(v)-sum(j))-(cnt(v)-cnt(j))

设f(x) = dp(x)+cnt(x), 化简得 (f(i)-f(j)) / (sum(i)-sum(j)) < x(v)

然后就斜率优化, 单调队列维护一个下凸函数

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#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int maxn = 1000009;

ll sum[maxn], cnt[maxn], dp[maxn];

int x[maxn], N, Q[maxn];

inline double slope(int a, int b) {

return (double) (dp[b] + cnt[b] - dp[a] - cnt[a]) / (sum[b] - sum[a]);

}

int main() {

scanf("%d", &N);

dp[0] = cnt[0] = sum[0] = 0;

for(int i = 1; i <= N; i++) {

int p; scanf("%d%d%lld", x + i, &p, dp + i);

sum[i] = sum[i - 1] + p;

cnt[i] = cnt[i - 1] + ll(p) * x[i];

}

int qh = 0, qt = 1; Q[0] = 0; // Q [qh, qt)

for(int i = 1; i <= N; i++) {

while(qt - qh > 1 && slope(Q[qh], Q[qh + 1]) < x[i]) qh++;

int best = Q[qh];

dp[i] += dp[best] + ll(x[i]) * (sum[i] - sum[best]) - cnt[i] + cnt[best];

while(qt - qh > 1 && slope(Q[qt - 2], Q[qt - 1]) >= slope(Q[qt - 1], i)) qt--;

Q[qt++] = i;

}

printf("%lld ", dp[N]);

return 0;

}

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1096: [ZJOI2007]仓库建设

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Description

L公司有N个工厂，由高到底分布在一座山上。如图所示，工厂1在山顶，工厂N在山脚。由于这座山处于高原内陆地区（干燥少雨），L公司一般把产品直接堆放在露天，以节省费用。突然有一天，L公司的总裁L先生接到气象部门的电话，被告知三天之后将有一场暴雨，于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。由于地形的不同，在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂目前已有成品Pi件，在第i个工厂位置建立仓库的费用是Ci。对于没有建立仓库的工厂，其产品应被运往其他的仓库进行储藏，而由于L公司产品的对外销售处设置在山脚的工厂N，故产品只能往山下运（即只能运往编号更大的工厂的仓库），当然运送产品也是需要费用的，假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。假设建立的仓库容量都都是足够大的，可以容下所有的产品。你将得到以下数据： 工厂i距离工厂1的距离Xi（其中X1=0）;  工厂i目前已有成品数量Pi;  在工厂i建立仓库的费用Ci; 请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案，使得总的费用（建造费用+运输费用）最小。

Input

第一行包含一个整数N，表示工厂的个数。接下来N行每行包含两个整数Xi, Pi, Ci, 意义如题中所述。

Output

仅包含一个整数，为可以找到最优方案的费用。

Sample Input

3
0 5 10
5 3 100
9 6 10

Sample Output

HINT

在工厂1和工厂3建立仓库，建立费用为10+10=20，运输费用为(9-5)*3 = 12，总费用32。如果仅在工厂3建立仓库，建立费用为10，运输费用为(9-0)*5+(9-5)*3=57，总费用67，不如前者优。

【数据规模】

对于100%的数据， N ≤1000000。所有的Xi, Pi, Ci均在32位带符号整数以内，保证中间计算结果不超过64位带符号整数。