1545 找出第N个二进制字符串的第K位 #分治
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题意
给定正整数(n(leq 20))与(k)，二进制串(S_n)形成规则有：
-
(S_1 = “0”)
-
当(i>1)时，(S_i = S_{i-1}+“1”+reverse(invert(S_{i-1})))
其中(reverse(x))表示左右反转字符串
x，(invert(x))表示翻转x中的每一位(0->1，1->0)
现要返回(S_n)的第(k)位字符。
如：(n=3,k=1)，可以得到(S_3=“0111001”)，其第一位为"0"，故返回"0"
分析
本来想打表，但最后的串实在是长。我们不必从n=1一步步模拟整个过程，而是自顶而下深入递归，只关心第(k)位属于上一步形成的01串的哪个位置哪个字符。
我们容易推出，对于(S_n)形成的串为(2^n-1)长度的01串，我们比较(k)与(2^{n-1})的大小：
- 如果(k=2^{n-1})，它在串最中间，字符为"1"，直接返回即可
- 如果(k<2^{n-1})，它在当前串的左部分，由串的形成规则可知，串左部分是经上一轮的串直接复制得到的，那么递归(n-1)次操作的第(k)位即可
- 如果(k>2^{n-1})，由串的形成规则，串右部分是经过上一轮串的反转+翻转得到的，那么当前的第k位是由上一轮的(2^n-1-k+1)位置得到的，当然别忘了对返回结果的字符进行取反操作！
class Solution {
public:
char Trans(char now) {
return (now == '1') ? '0' : '1';
}
char findKthBit(int n, int k) {
if (n == 1) return '0';
int len = 1 << (n - 1);
if (k == len) return '1';
else if (k < len) return findKthBit(n - 1, k);
else {
return Trans(findKthBit(n - 1, (len << 1) - k));
}
}
};
1546 和为目标值的最大数目不重叠非空子数组数目 #前缀和 #哈希表 #线性DP
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题意
给定数组 nums(长度不大于(1e5)) 和一个整数 target 。现要返回 非空不重叠 子数组的最大数目，且每个子数组中数字和都为 target 。
样例
nums = [-1,3,5,1,4,2,-9], target = 6，总共有 3 个子数组和为 6 。 $([5,1], [4,2], [3,5,1,4,2,-9]) $但只有前 2 个是不重叠的。
分析
dp[i]表示前i位满足要求的子数组个数；sum表示[1, size]的前缀和(先假定从1计数)
当(i>0)显然dp[0] = 0；当(i>0)时，有两种情况：
-
存在这样的(pos(leq i) st.sum[i]-sum[pos]==target)，
- 我们找到([pos, i])的合法子数组，于是
dp[i]可以由dp[pos]+1转移 [pos, i]的子数组长度可能太长，以至于覆盖了该区间的几个合法子数组，那么dp[i]也可以由dp[i-1]转移
即得到转移方程：(dp[i] = max(dp[i-1], dp[pos]+1))
- 我们找到([pos, i])的合法子数组，于是
-
不存在这样的(pos)，显然转移方程只能为(dp[i] = dp[i-1])
class Solution {
private:
int dp[100005] = {0};
public:
int maxNonOverlapping(vector<int>& nums, int target) {
map<int, int> mymap;
int sum = 0; mymap[0] = 0;
for (int i = 1; i <= nums.size(); i++) {
sum += nums[i - 1];
if (mymap.count(sum - target)) { //是否存在sum[pos]满足sum[i]-sum[pos]=target
int pos = mymap[sum - target];
dp[i] = max(dp[i - 1], dp[pos] + 1);
}
else {
dp[i] = dp[i - 1];
}
mymap[sum] = i; //记录前缀和sum的最新位置
}
return dp[nums.size()];
}
};
1547 切棍子的最小成本 #区间DP
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题意
给定长度为(n)个单位的木棍，及记录你要将棍子切开的位置数组(cuts[i])，现要你按(cuts[i])记录的位置按一定顺序切割木棍，使得成本最小，并求其值。其中每次切割的成本是当前要切割的棍子的长度。
分析
显然是石子合并的变式，区间DP题，不过我们需要预处理下每个切割位置之间的长度(该位置的序号-前一位置的序号)，同时将代价数组sum[]从1计数，便于DP
class Solution {
private:
int sum[105] = { 0 };
int dp[105][105];
public:
int cost(int lo, int hi) {
return sum[hi] - sum[lo];
}
void Init(int maxlen, vector<int>& cuts, int n) {
sort(cuts.begin(), cuts.end());
for (int i = 1; i <= maxlen; i++)
for (int j = 1; j <= maxlen; j++)
dp[i][j] = 0x3f3f3f3f;
sum[1] = cuts[0]; dp[1][1] = dp[maxlen][maxlen] = 0;
for (int i = 2; i <= cuts.size(); i++) {
dp[i][i] = 0;
sum[i] = sum[i - 1] + cuts[i - 1] - cuts[i - 2];
}
sum[maxlen] = sum[maxlen - 1] + n - cuts[cuts.size() - 1];
}
int minCost(int n, vector<int>& cuts) {
int maxlen = cuts.size() + 1;
Init(maxlen, cuts, n);
for (int len = 2; len <= maxlen; len++) {
for (int i = 1; i + len - 1 <= maxlen; i++) {
int j = i + len - 1;
for (int k = i; k < j; k++)
dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k + 1][j] + cost(i - 1, j));
}
}
return dp[1][maxlen];
}
};