Luogu4338 ZJOI2018 历史 LCT、贪心

题意：在$N$个点的$LCT$中，最开始每条边的虚实不定，给出每一个点的$access$次数，求一种$access$方案使得每条边的虚实变换次数之和最大，需要支持动态增加某个点的$access$次数。$N leq 4 imes 10^5$

ZJOI2018真的都是大火题

首先一个小小的转化：对于每个非叶子节点，新开一个叶子节点，将当前非叶子节点的$access$次数转移到这些叶子节点上，这样所有的$access$操作都在叶子节点进行，可以少很多的判断。

接着我们需要考虑在每一个点上最大化方案总数。因为必须相邻两次$access$由不同子树的叶子节点发起才能够贡献$1$的答案，而我们希望每一次$access$都能尽可能多贡献答案，所以尽可能让相邻两次$access$来自不同子树。考虑树上某一个非叶子节点$x$，其所有儿子为集合$i$，$S$表示子树$access$次数总和，显然答案贡献的最大值与$sum S_i$与$max{S_i}$相关，因为当$max{S_i}$占$sum S_i$比例特别大的时候，则必定要有很多同一子树来的$access$操作被放在一起。

现讲结论吧，最大$access$贡献是

$$min{S_i-1 , 2 imes (sum S_i - max {S_i})}$$

也就是在$max{S_i} > frac{sum S_i + 1}{2}$时总贡献数量会取右边一项

$min$中的左边一项表示的是任意两个$access$之间都产生$1$的贡献（最优的情况），而对于右边的项，因为只有取到最大值的子树的贡献次数变少了，那么我们考虑所有其他子树，它们每一次$access$都可以在这一次$access$的之前、之后的$access$中取到$2$的贡献，所以贡献总和就是右边那一项，树形$DP$计算一次就能获得$30pts$。

接着我们考虑修改操作。如果在某一个点的子树集合$i$上存在一个子树$x$满足$S_x > frac{sum S_i + 1}{2}$，那么如果我们在子树$x$上加上$access$次数$w$，和和最大值同时增加了$w$，也就是说贡献没有变化。我们考虑将满足$S_x > frac{sum S_i + 1}{2}$的点与其父亲连一条实边，表示这一条边连接的两个点之间无需转移，而其他的边就连为轻边。

观察一下条件：$S_x > frac{sum S_i + 1}{2}$，是不是很像重链剖分？其实实质就是重链剖分

然后我们就只需要考虑轻边上的转移了。可以知道每一个点到根的轻边的数量是$log \, sum (access ext{次数})$级别的，复杂度也符合要求。所以可以使用$LCT$动态维护轻重边的划分，外部计算全局答案，每一次找到一条轻边的时候，看能否将其改为重边，去掉以前这个点的贡献，加上当前的贡献即可。

  1 #include<bits/stdc++.h>
  2 #define int long long
  3 #define lch Tree[x].ch[0]
  4 #define rch Tree[x].ch[1]
  5 #define mid ((Tree[x].sum + 1) >> 1)
  6 //This code is written by Itst
  7 using namespace std;
  8 
  9 inline int read(){
 10     int a = 0;
 11     bool f = 0;
 12     char c = getchar();
 13     while(c != EOF && !isdigit(c)){
 14         if(c == '-')
 15             f = 1;
 16         c = getchar();
 17     }
 18     while(c != EOF && isdigit(c)){
 19         a = (a << 3) + (a << 1) + (c ^ '0');
 20         c = getchar();
 21     }
 22     return f ? -a : a;
 23 }
 24 
 25 const int MAXN = 400010;
 26 struct node{
 27     int fa , ch[2] , sum , non_sum;
 28     bool type;
 29 }Tree[MAXN << 1];
 30 struct Edge{
 31     int end , upEd;
 32 }Ed[MAXN << 2];
 33 int a[MAXN] , head[MAXN] , sum , N , cntEd;
 34 
 35 inline bool nroot(int x){
 36     return Tree[Tree[x].fa].ch[0] == x || Tree[Tree[x].fa].ch[1] == x;
 37 }
 38 
 39 inline bool son(int x){
 40     return Tree[Tree[x].fa].ch[1] == x;
 41 }
 42 
 43 inline void pushup(int x){
 44     Tree[x].sum = Tree[lch].sum + Tree[rch].sum + Tree[x].non_sum + (x > N ? a[x - N] : 0);
 45 }
 46 
 47 inline void rotate(int x){
 48     bool f = son(x);
 49     int y = Tree[x].fa , z = Tree[y].fa , w = Tree[x].ch[f ^ 1];
 50     if(nroot(y))
 51         Tree[z].ch[son(y)] = x;
 52     Tree[x].fa = z;
 53     Tree[x].ch[f ^ 1] = y;
 54     Tree[y].fa = x;
 55     Tree[y].ch[f] = w;
 56     if(w)
 57         Tree[w].fa = y;
 58     pushup(y);
 59 }
 60 
 61 inline void Splay(int x){
 62     while(nroot(x)){
 63         if(nroot(Tree[x].fa))
 64             rotate(son(x) == son(Tree[x].fa) ? Tree[x].fa : x);
 65         rotate(x);
 66     }
 67     pushup(x);
 68 }
 69 
 70 inline void access(int x , int w){
 71     a[x - N] += w;
 72     Splay(x);
 73     while(Tree[x].fa){
 74         Splay(Tree[x].fa);
 75         int k = Tree[x].fa , t = Tree[k].sum - Tree[Tree[k].ch[0]].sum;
 76         if(Tree[k].ch[1])
 77             sum -= (t - Tree[Tree[k].ch[1]].sum) << 1;
 78         else
 79             sum -= t - 1;
 80         Tree[k].non_sum += w;
 81         Tree[k].sum += w;
 82         t += w;
 83         if(Tree[Tree[k].ch[1]].sum < Tree[x].sum){
 84             Tree[k].non_sum = Tree[k].non_sum - Tree[x].sum + Tree[Tree[k].ch[1]].sum;
 85             Tree[k].ch[1] = x;    
 86         }
 87         if(((t + 1) >> 1) < Tree[Tree[k].ch[1]].sum)
 88             sum += (t - Tree[Tree[k].ch[1]].sum) << 1;
 89         else{
 90             sum += t - 1;
 91             Tree[k].non_sum += Tree[Tree[k].ch[1]].sum;
 92             Tree[k].ch[1] = 0;
 93         }
 94         x = k;
 95     }
 96 }
 97 
 98 inline void addEd(int a , int b){
 99     Ed[++cntEd].end = b;
100     Ed[cntEd].upEd = head[a];
101     head[a] = cntEd;
102 }
103 
104 void dfs(int x , int fa){
105     Tree[x].fa = fa;
106     if(x > N)
107         return;
108     for(int i = head[x] ; i ; i = Ed[i].upEd)
109         if(Ed[i].end != fa){
110             dfs(Ed[i].end , x);
111             Tree[x].sum += Tree[Ed[i].end].sum;
112         }
113     for(int i = head[x] ; i ; i = Ed[i].upEd)
114         if(Ed[i].end != fa && mid < Tree[Ed[i].end].sum){
115             sum += (Tree[x].sum - Tree[Ed[i].end].sum) << 1;
116             Tree[x].non_sum = Tree[x].sum - Tree[Ed[i].end].sum;
117             Tree[x].ch[1] = Ed[i].end;
118             return;
119         }
120     sum += Tree[x].sum - 1;
121     Tree[x].non_sum = Tree[x].sum;
122 }
123 
124 signed main(){
125 #ifndef ONLINE_JUDGE
126     freopen("4338.in" , "r" , stdin);
127     //freopen("4338.out" , "w" , stdout);
128 #endif
129     N = read();
130     int M = read();
131     for(int i = 1 ; i <= N ; ++i)
132         Tree[i + N].sum = a[i] = read();
133     for(int i = 1 ; i < N ; ++i){
134         int a = read() , b = read();
135         addEd(a , b);
136         addEd(b , a);
137     }
138     for(int i = 1 ; i <= N ; ++i)
139         addEd(i , i + N);
140     dfs(1 , 0);
141     printf("%lld
" , sum);
142     while(M--){
143         int a = read() , x = read();
144         access(a + N , x);
145         printf("%lld
" , sum);
146     }
147     return 0;
148 }