【SDOI2012】Longge 的问题 题解（欧拉函数）

前言：还算比较简单的数学题，我这种数学蒟蒻也会做QAQ。

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题意：求$sumlimits_{i=1}^n gcd(i,n)$的值。

设$gcd(i,n)=d$，即$d$为$i$和$n$的因数，那么有$gcd(i/d,n/d)=1$。假设我们求出了$x$个满足条件的$i$，那么总的结果就是$x*d$。我们因此可以枚举$n$的因数，累加即可。注意判断$n$是不是完全平方数。

问题来了：怎么求满足$gcd(i/d,n/d)=1$的$i$的个数？欧拉函数啊！我们可以$sqrt n$地求出$φ(n/i)$，结果就是$φ(n/i)*d$。

注：欧拉函数的通式为$φ(x)=x*prodlimits_{i=1}^n (1-frac{1}{p_i})$ （$p_i$为$x$的质因数）

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int n,ans;
int phi(int x)
{
    int res=x;
    for (int i=2;i*i<=x;i++)
    {
        if (x%i==0)
        {
            res=res*(i-1)/i;
            while(x%i==0) x/=i;
        }
    }
    if (x>1) res=res*(x-1)/x;
    return res;
}
signed main()
{
    scanf("%lld",&n);
    int sq=sqrt(n);
    for (int i=1;i<=sq;i++)
    {
        if (n%i==0)
        {
            ans+=phi(n/i)*i;
            if (i*i!=n) ans+=phi(i)*(n/i);
        }
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}