题目信息
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时间： 2019-07-01
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题目链接：Leetcode
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tag： 整除 取余 规律 递归
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难易程度：中等
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题目描述：
输入一个整数 n ，求1～n这n个整数的十进制表示中1出现的次数。
例如，输入12，1～12这些整数中包含1 的数字有1、10、11和12，1一共出现了5次。
示例1:
输入：n = 12
输出：5
示例2:
输入：n = 13
输出：6
提示
1. 1 <= n < 2^31
解题思路
本题难点
数字 n 是个 x 位数，记 n 的第 i 位为 n i ，则可将 n 写为 nx nx−1⋯n2 n1，n的位数都可能为1。
具体思路
将 1 ~ n 的个位、十位、百位、...的 1 出现次数相加，即为 1 出现的总次数。
某位中 11出现次数的计算方法：
根据当前位 cur 值的不同，分为以下三种情况：
- cur=0：此位 1的出现次数只由高位 high决定，high×digit
- cur=1： 此位 1的出现次数只由高位 high和地位low决定，high×digit+low+1
- cur !=1：此位 1的出现次数只由高位 high决定，(high+1)×digit
代码
class Solution {
public int countDigitOne(int n) {
//设计按照 “个位、十位、...” 的顺序计算
int digit = 1,res = 0;
int high = n / 10 ,cur = n% 10,low = 0;
//当 high 和 cur 同时为 0 时，说明已经越过最高位，因此跳出
while(high != 0 || cur != 0){
if(cur == 0){
res += high * digit;
}else if(cur == 1){
res += high * digit + low + 1;
}else{
res += (high + 1) * digit;
}
//将 cur 加入 low ，组成下轮 low
low += cur * digit;
//下轮 cur 是本轮 high 的最低位
cur = high % 10;
//将本轮 high 最低位删除，得到下轮 high
high /= 10;
//位因子每轮 × 10
digit *= 10;
}
return res;
}
}
复杂度分析：
- 时间复杂度 O(logn) ： 循环内的计算操作使用 O(1) 时间；循环次数为数字 n 的位数，即 log n ，因此循环使用 O(logn) 时间。
- 空间复杂度 O(1) ： 几个变量使用常数大小的额外空间。
其他优秀解答
解题思路
f(n))函数的意思是1～n这n个整数的十进制表示中1出现的次数，将n拆分为两部分，最高一位的数字high和其他位的数字last，分别判断情况后将结果相加。
示例1:
例子如n=1234，high=1, pow=1000, last=234
可以将数字范围分成两部分1~999和1000~1234
1~999这个范围1的个数是f(pow-1)
1000~1234这个范围1的个数需要分为两部分：
千分位是1的个数：千分位为1的个数刚好就是234+1(last+1)，注意，这儿只看千分位，不看其他位
其他位是1的个数：即是234中出现1的个数，为f(last)
所以全部加起来是f(pow-1) + last + 1 + f(last);
示例2:
例子如3234，high=3, pow=1000, last=234
可以将数字范围分成两部分1~999，1000~1999，2000~2999和3000~3234
1~999这个范围1的个数是f(pow-1)
1000~1999这个范围1的个数需要分为两部分：
千分位是1的个数：千分位为1的个数刚好就是pow，注意，这儿只看千分位，不看其他位
其他位是1的个数：即是999中出现1的个数，为f(pow-1)
2000~2999这个范围1的个数是f(pow-1)
3000~3234这个范围1的个数是f(last)
所以全部加起来是pow + high*f(pow-1) + f(last);
代码
class Solution {
public int countDigitOne(int n) {
return f(n);
}
private int f(int n ) {
if (n <= 0)
return 0;
String s = String.valueOf(n);
int high = s.charAt(0) - '0';
int pow = (int) Math.pow(10, s.length()-1);
int last = n - high*pow;
if (high == 1) {
return f(pow-1) + last + 1 + f(last);
} else {
return pow + high*f(pow-1) + f(last);
}
}
}