【NOIP模拟赛】奇数码问题

Description

你一定玩过八数码游戏，它实际上是在一个33的网格中进行的，1个空格和1~8这8个数字恰好不重不漏地分布在这33的网格中。

例如：

5 2 8

1 3 _

4 6 7

在游戏过程中，可以把空格与其上、下、左、右四个方向之一的数字交换（如果存在）。例如在上例中，空格可与左、上、下面的数字交换，分别变成：

5 2 8 5 2 _ 5 2 8

1 _ 3 1 3 8 1 3 7

4 6 7 4 6 7 4 6 _

奇数码游戏是它的一个扩展，在一个nn的网格中进行，其中n为奇数，1个空格和1~nn-1这nn-1个数恰好不重不漏地分布在nn的网格中。

空格移动的规则与八数码游戏相同，实际上，八数码就是一个n=3的奇数码游戏。

现在给定两个奇数码游戏的局面，请判断是否存在一种移动空格的方式，使得其中一个局面可以变化到另一个局面。

Input Format

多组数据，对于每组数据：

第1行一个奇整数n。

接下来n行每行n个整数，表示第一个局面。

接下来n行每行n个整数，表示第二个局面。

局面中每个整数都是0~n*n-1之一，其中用0代表空格，其余数值与奇数码游戏中的意义相同，保证这些整数的分布不重不漏。

Output Format

对于每组数据，若两个局面可达，输出TAK，否则输出NIE。

Sample Input

Sample Output

TAK
TAK

Hint

数据范围与约定

对于30%的数据，1<=n<=3；

对于60%的数据，1<=n<=50；

对于100%的数据，1<=n<=500，n为奇数，每个测试点不超过10组。

solution

一道十分苟的结论题，太菜了，听凡神说之前似乎听过？？？

下面抄一波结论：

N×N的棋盘，N为奇数时，与八数码问题相同。

将一个状态表示成一维的形式，求出除0之外所有数字的逆序数之和，也就是每个数字前面比它大的数字的个数的和，称为这个状态的逆序。

若两个状态的逆序奇偶性相同，则可相互到达，否则不可相互到达。

由于原始状态的逆序为0（偶数），则逆序为偶数的状态有解。

也就是说，逆序的奇偶将所有的状态分为了两个等价类，同一个等价类中的状态都可相互到达。

N为偶数时，空格每上下移动一次，奇偶性改变。称空格位置所在的行到目标空格所在的行步数为空格的距离（不计左右距离），若两个状态的可相互到达，则有，两个状态的逆序奇偶性相同且空格距离为偶数，或者，逆序奇偶性不同且空格距离为奇数数。否则不能。

也就是说，当此表达式成立时，两个状态可相互到达：(状态1奇偶性==状态2奇偶性)==(空格距离%2==0)。

对于逆序对，可以用归并排序，也可以用树状数组。本蒟蒻用了树状数组。

#include<cstdio>
#include<cstring>
int N,a,T[300012];
inline void Modify(int x){for(int i=x;i<=N;i+=i&-i)++T[i];}
inline int Query(int x)
{
    int res=0;
    for(int i=x;i;i-=i&-i) res+=T[i];
    return res;
}
inline int Work()
{
    memset(T,0,sizeof T); int cnt=0;
    for(int g=1;g<=N;++g)
    {
        scanf("%d",&a);
        if(!a) continue;
        cnt+=Query(N)-Query(a); Modify(a);
    }
    return cnt&1;
}
int main()
{
    for(;scanf("%d",&N)==1;)
    {
        N*=N;
        if(Work()==Work()) printf("TAK
");
        else printf("NIE
");
    }
    return 0;
}