5248: [2018多省省队联测]一双木棋
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菲菲和牛牛在一块n行m列的棋盘上下棋，菲菲执黑棋先手，牛牛执白棋后手。棋局开始时，棋盘上没有任何棋子，两人轮流在格子上落子，直到填满棋盘时结束。落子的规则是：一个格子可以落子当且仅当这个格子内没有棋子且这个格子的左侧及上方的所有格子内都有棋子。棋盘的每个格子上，都写有两个非负整数，从上到下第i行中从左到右第j列的格子上的两个整数记作Aij、Bij。在游戏结束后，菲菲和牛牛会分别计算自己的得分：菲菲的得分是所有有黑棋的格子上的Aij之和，牛牛的得分是所有有白棋的格子上的Bij的和。菲菲和牛牛都希望，自己的得分减去对方的得分得到的结果最大。现在他们想知道，在给定的棋盘上，如果双方都采用最优策略且知道对方会采用最优策略，那么，最终的结果如何Input
第一行包含两个正整数n,m，保证n,m≤10。接下来n行，每行m个非负整数，按从上到下从左到右的顺序描述每个格子上的第一个非负整数：其中第i行中第j个数表示Aij。接下来n行，每行m个非负整数，按从上到下从左到右的顺序描述每个格子上的第二个非负整数：其中第i行中第j个数表示Bijn, m ≤ 10 ， Aij, Bij ≤ 100000Output
输出一个整数，表示菲菲的得分减去牛牛的得分的结果。Sample Input
2 3
2 7 3
9 1 2
3 7 2
2 3 1Sample Output
2HINT
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这套卷子真的是CCF卷的风格。。专门克制我这种做题慢如蜗牛的人。。
首先这个题一看范围就差不多了，不是搜索就是DP，要拿满分显然得记忆化。因为博弈的最佳决策是根据后继状态选择的，所以返回的是某个状态之后可能拉出的最大/最小分差。由于先手是想让A-B最大，后手反之，交替进行，所以我们搜索时分两种情况讨论一下，最终一定能得到最优决策下的答案。
至于怎么存储当前状态，直接状压每行放了多少个棋子即可，状态直接转移。我起先是按照11进制存储状态的，发现跑了0.99s，后来改成16进制用位运算代替除法取模，就只要0.29s了。
还有一种方法是连通性DP，将从左下到右上的轮廓线压进二进制里转移（0表示向上，1表示向右）。
方法一：
1 #include<cstdio> 2 #include<algorithm> 3 #define rep(i,l,r) for (int i=l; i<=r; i++) 4 typedef long long ll; 5 using namespace std; 6 7 const int N=20,inf=1000000000,P=1000007; 8 ll H[P],G; int H1[P]; 9 int n,m,a[N][N],b[N][N],p[N]; 10 11 void inc(int &x){ x++; if (x>=P) x-=P; } 12 void Hash(ll S,int k){ int x=S%P; while (H[x]) inc(x); H[x]=S; H1[x]=k; } 13 int Find(ll S){ int x=S%P; while (H[x]!=S && H[x]) inc(x); return H1[x]; } 14 15 int get(ll S,int x){ if (!x) return m; x=n-x; while (x--) S>>=4; return S&15; } 16 ll upd(ll S,int x){ 17 if (x==1){ 18 int tot=0; 19 rep(i,1,n-1) p[tot++]=S&15,S>>=4; S++; 20 while (tot--) S=(S<<4)+p[tot]; 21 return S; 22 } 23 int tot=0; 24 rep(i,1,n-x) p[tot++]=S&15,S>>=4; S++; 25 while (tot--) S=(S<<4)+p[tot]; 26 return S; 27 } 28 29 int dfs(ll S,int x){ 30 int t=Find(S); if (t) return t; 31 if (S==G-1) return (x ? -b[n][m] : a[n][m]); 32 if (x==0){ 33 int res=-inf; 34 rep(i,1,n) if (get(S,i)<get(S,i-1)) res=max(res,a[i][get(S,i)+1]+dfs(upd(S,i),x^1)); 35 Hash(S,res); return res; 36 }else{ 37 int res=inf; 38 rep(i,1,n) if (get(S,i)<get(S,i-1)) res=min(res,dfs(upd(S,i),x^1)-b[i][get(S,i)+1]); 39 Hash(S,res); return res; 40 } 41 } 42 43 int main(){ 44 freopen("chess.in","r",stdin); 45 freopen("chess.out","w",stdout); 46 scanf("%d%d",&n,&m); 47 rep(i,1,n) G=G*16+m; 48 rep(i,1,n) rep(j,1,m) scanf("%d",&a[i][j]); 49 rep(i,1,n) rep(j,1,m) scanf("%d",&b[i][j]); 50 printf("%d ",dfs(0,0)); 51 return 0; 52 }
方法二：
1 #include<cstdio> 2 #include<algorithm> 3 #define rep(i,l,r) for (int i=l; i<=r; i++) 4 using namespace std; 5 6 const int N=13,inf=1000000000; 7 int n,m,a[N][N],b[N][N],f[1<<22],p[22]={1}; 8 9 int cnt(int x){ int res=0; for (; x; x>>=1) if (x&1) res++; return res; } 10 int work(int x){ 11 int res=0,w=0; 12 for (; x; x>>=1) if (x&1) res+=w; else w++; 13 return res; 14 } 15 int valA(int v,int s){ int g=cnt(v&(p[s]-1)); return a[n-s+g][1+g]; } 16 int valB(int v,int s){ int g=cnt(v&(p[s]-1)); return b[n-s+g][1+g]; } 17 18 void solve(int S,int x){ 19 int res; 20 if (x){ 21 res=inf; 22 for (int i=0; i<n+m-1; i++) 23 if (!(p[i]&S) && (p[i+1]&S)) 24 res=min(res,f[S^p[i]^p[i+1]]-valB(S,i)); 25 }else{ 26 res=-inf; 27 for (int i=0; i<n+m-1; i++) 28 if (!(p[i]&S) && (p[i+1]&S)) 29 res=max(res,f[S^p[i]^p[i+1]]+valA(S,i)); 30 } 31 f[S]=res; 32 } 33 34 int main(){ 35 freopen("chess.in","r",stdin); 36 freopen("chess.out","w",stdout); 37 scanf("%d%d",&n,&m); 38 rep(i,1,n) rep(j,1,m) scanf("%d",&a[i][j]); 39 rep(i,1,n) rep(j,1,m) scanf("%d",&b[i][j]); 40 p[0]=1; rep(i,1,n+m) p[i]=p[i-1]<<1; 41 f[p[m]-1]=0; 42 rep(i,p[m],p[n+m]-p[n]) 43 if (cnt(i)==m) solve(i,(n*m-work(i))&1); 44 printf("%d ",f[p[n+m]-p[n]]); 45 return 0; 46 }