傅里叶变换 高通滤波 低通滤波

为何很多地方要用傅里叶变换？

很多在时域看似不可能做到的数学操作，在频域相反很容易，这就是需要傅里叶变换的地方。

尤其是从某条曲线中去除一些特定的频率成分，这在工程上称为滤波，是信号处理最重要的概念之一，只有在频域才能轻松的做到。

幅值谱：频率和幅值的关系。中心为频率最小点。因此幅值谱中心部分代表的是低频信息，即空间域的平缓的部分。越往外代表的是高频信息，空间域的边缘啊噪声等

频率：以正弦波为例，就是周期的倒数

幅值：周期内最大值

幅值高（幅值谱越亮的部分）代表像素越多。一幅图像经过傅里叶变换之后一定是中心较亮，四周较暗（低频像素多，高频像素少），因为一般一幅图像中高频信息（边缘等）是很少的，多的是背景。

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二维坐标系中向量点的图示由于正交基（即坐标系)的建立, 可以写成向量坐标（如（2，1））数值格式；同理已知坐标系和向量坐标可以变换推出图示意的样子。（这个类比很棒了）

傅里叶变换也是一样：将连续的周期性函数写成无数个正交的正（余）弦函数的和，其中引入了振幅（f, 周期函数的最大值），相位（q,即0时刻周期函数曲线的进入点），频率（w,反应周期性大小）。

同坐标变换一样，已知了这些相互正交的周期函数(即空间中一组完备的正交基)，可以由傅里叶变换后的坐标结果（即f，w, q）反变换得到之前的图示结果---即原始的那条周期性曲线。

变声，美颜都可以用傅里叶变换及反变换得到。

比如美颜，一张人物图片傅里叶变换后就是一张类似衍射图的东西，然后低频代表人物轮廓，高频代表人物细节如皱纹等，我们只需要抹掉高频，然后反变换回图片空间即得到磨皮的结果。

变声也是：发现嘈杂的声音傅里叶变换后，发现有具有低频的部分，以及仅高频的部分，还有一些噪音。大脑自动发现了男声处在低频部分，女声在高频部分。

只要将一个变换后的声音的低频抹掉，再反变换回去就得到了女声，同样的根据某个人的变换后的频率相位图反变换就得到变声。

世界上所有的信号都具有波粒二象性，耳朵接收声波，眼睛接受光波，正是因为大脑能进行快速傅里叶变换处理信号，所以人类才这么高级方便。

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高通滤波，低通滤波是按频率划分的。对于正弦曲线，振幅变化快就是高频，变化慢就是低频。那么对于图像，像素值变化快就是高频（噪声啦，边缘啦、边缘及噪声在局部像素值变化较大），像素值变化慢就是低频。所以一幅图像低频较多，高频较少。那么保留高频就是高通滤波器（边缘提取），保留低频就是低通录波器（图像平滑）。
傅里叶变换将图像转换成幅值谱(magnitude_spectrum)：按频率从小到大由中心向四周扩散，幅值谱越亮说明像素越多，反之则越少。
上代码：

import cv2
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
img=cv2.imread('../images/example_01.jpg',0)
# 高通滤波 numpy 用的多
# 正变换
f=np.fft.fft2(img)
fshift=np.fft.fftshift(f)
magnitude_spectrum=20*np.log(np.abs(fshift))


plt.subplot(121),plt.imshow(img,cmap='gray'),plt.title('Input Image'),plt.xticks([]),plt.yticks([])
plt.subplot(122),plt.imshow(magnitude_spectrum,cmap='gray'),plt.title('magnitude_spectrum')
plt.show()

上效果：

那么像提取图像的边缘就是去掉低频保留高频：先通过傅里叶正变换得到幅值谱，去掉低频像素，然后再通过傅里叶逆变换得到图像边缘。上代码：

import cv2
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# img=cv2.imread('../images/can.jpg',0)
# img=cv2.imread('../images/qin.jpg',0)
img=cv2.imread('../images/example_01.jpg',0)
# 高通滤波 numpy 用的多
# 正变换
f=np.fft.fft2(img)
fshift=np.fft.fftshift(f)
magnitude_spectrum=20*np.log(np.abs(fshift))


rows,cols=img.shape
crow,ccol=int(rows/2),int(cols/2)
print('img.shape',img.shape)
# 低频过滤
fshift[(crow-30):(crow+30),(ccol-30):(ccol+30)]=0
#逆变换
f_ishift=np.fft.ifftshift(fshift)
img_back=np.abs(np.fft.ifft2(f_ishift))


plt.subplot(121),plt.imshow(img,cmap='gray'),plt.title('Input Image'),plt.xticks([]),plt.yticks([])
plt.subplot(122),plt.imshow(img_back,cmap='gray'),plt.title('img_back'),plt.xticks([]),plt.yticks([])
plt.show()

上效果：

那么均值滤波，高斯滤波，sobel，scharr，拉普拉斯滤波器是低通滤波器还高通滤波器呢？我们通过幅值谱来判
断，上代码：

import cv2
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt


# simple averaging filter without scaling parameter
# 低通
mean_filter = np.ones((3,3))


# creating a guassian filter
# 低通
x = cv2.getGaussianKernel(5,10)
gaussian = x*x.T


# different edge detecting filters
# scharr in x-direction
# 高通
scharr = np.array([[-3, 0, 3],
                   [-10,0,10],
                   [-3, 0, 3]])
# sobel in x direction
# 高通
sobel_x= np.array([[-1, 0, 1],
                   [-2, 0, 2],
                   [-1, 0, 1]])
# sobel in y direction
# 高通
sobel_y= np.array([[-1,-2,-1],
                   [0, 0, 0],
                   [1, 2, 1]])
# laplacian
# 高通
laplacian=np.array([[0, 1, 0],
                    [1,-4, 1],
                    [0, 1, 0]])


filters = [mean_filter, gaussian, laplacian, sobel_x, sobel_y, scharr]
filter_name = ['mean_filter', 'gaussian','laplacian', 'sobel_x', 
                'sobel_y', 'scharr_x']
fft_filters = [np.fft.fft2(x) for x in filters]
fft_shift = [np.fft.fftshift(y) for y in fft_filters]
mag_spectrum = [np.log(np.abs(z)+1) for z in fft_shift]


for i in range(6):
    plt.subplot(2,3,i+1),plt.imshow(mag_spectrum[i],cmap = 'gray')
    plt.title(filter_name[i]), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.show()

上效果：

前面讨论过，幅值谱中间为低频，四周为高频且越亮像素越多，就是被滤波器保存下来了。不难发现，均值与高斯滤波器幅值谱中间亮，为低通滤波器（平滑），拉普拉斯、sobel、scharr四周较亮为高通滤波器（边缘提取），边缘提取又分垂直边缘与水平边缘~这个从图上看就一目了然啦。