CodeVS 1697-⑨要写信

原题

题目描述 Description

琪露诺(冰之妖精)有操控冷气的能力。能瞬间冻结小东西，比普通的妖精更危险。一直在释放冷气的她周围总是非常寒冷。

由于以下三点原因……

琪露诺的符卡冰符“Icicle Fall”-Easy的弹幕有够蠢的，只要站在她的正前方就没任何弹幕会碰到你；

ZUN在《红魔乡》中介绍她时已经说她有点笨笨的了；

在ZUN放出《东方花映冢》的介绍图时，在图中把琪露诺放在了⑨的位置上，并以“⑨笨蛋”简单带过，从此“⑨”及“笨蛋”就成为她的别名了……

所以琪露诺便得到了“笨蛋”的别称。

某日，琪露诺又2了……

她写了N封信要装到N个信封里面，却全都装错了……现在想知道有多少种装错的可能性。

输入描述 Input Description

信和信封的数量N。

输出描述 Output Description

装错的可能性的数量。

样例输入 Sample Input

样例输入1

样例输入2

样例输出 Sample Output

样例输出1

样例输出2

数据范围及提示 Data Size & Hint

1≤N≤100

题意

看题面最后一句话,就是求错排数,也就是将N封信全部错装到N个信箱里(不允许有一个是装对的).

题解

设N个元素的错排数为f[N],那么f[N-1]就表示N-1个元素的错排数.

第一步,把第N个元素放在除了N之外的任意一个位置,那么一共就有N-1种方法,假设放的位置是k;

第二步,将原来位置为k的元素挪至别处,这时有两种情况:

(1)把它放到位置N,由于第k个元素放到了位置N,那么原先编号为N和编号为k的元素就已经是错位的,那么只需要考虑剩下N-2个元素的错排数,也就是有f[N-2]种方法;

(2)第k个元素不放到位置N,这时,k就有N-1种方法去放,也可以放到k的位置上,不过一出现这种情况便不合法了,于是有f[N-1]种方法;

所以我们可以得到一个递推式: f[i]=(i-1)*(f[i-2]+f[i-1]) {i>=3}

还要先确定初始值: f[1]=0,f[2]=1.

忘了说,这题还要可恶的高精度...... 下面代码:

uses math;
var ss:ansistring;
var f:array[0..1000] of ansistring;
var n,i:longint;
function time(s1,s2:ansistring):ansistring;
var len1,len2,i,j,x,l:longint;
var a,b,c:array[1..100000] of longint;
var ss:string;
begin
len1:=length(s1);len2:=length(s2);ss:='';
fillchar(a,sizeof(a),0);fillchar(b,sizeof(b),0);fillchar(c,sizeof(c),0);
for i:=1 to len1 do a[len1-i+1]:=ord(s1[i])-48;
for i:=1 to len2 do b[len2-i+1]:=ord(s2[i])-48;
for i:=1 to len1 do
for j:=1 to len2 do
begin
c[i+j-1]:=c[i+j-1]+a[i]*b[j];
c[i+j]:=c[i+j]+c[i+j-1] div 10;
c[i+j-1]:=c[i+j-1] mod 10;
end;
for i:=len1+len2 downto 1 do if c[i]<>0 then begin l:=i;break; end;
for i:=l downto 1 do ss:=ss+chr(c[i]+48);
exit(ss);
end;
function add(s1,s2:ansistring):ansistring;
var len1,len2,i,x,l:longint;
var a,b,c:array[1..10000] of longint;
var ss,p:string;
begin
len1:=length(s1);len2:=length(s2);ss:='';p:='';
fillchar(a,sizeof(a),0);fillchar(b,sizeof(b),0);
for i:=1 to len1 do a[len1-i+1]:=ord(s1[i])-48;
for i:=1 to len2 do b[len2-i+1]:=ord(s2[i])-48;
i:=0;x:=0;
for i:=1 to max(len1,len2) do
begin
x:=x+a[i]+b[i];
c[i]:=x mod 10;
x:=x div 10;
end;
if x>0 then begin l:=i+1;c[l]:=1; end else l:=i;
for i:=l downto 1 do ss:=ss+chr(c[i]+48);
exit(ss);
end;
begin
readln(n);
if n=1 then begin writeln(0);halt; end;
if n=2 then begin writeln(1);halt; end;
f[1]:='0';f[2]:='1';
for i:=3 to n do
begin
str(i-1,ss);
f[i]:=time(ss,add(f[i-1],f[i-2]));
end;
writeln(f[n]);
end.

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