导数与积分总结
前言
其实这些东西大多数都可以在高中数学书中找到......
导函数
导数是什么
导数是用于解决瞬时变化率的。
例如，给定一个物理直线运动的(s-t)图，即函数(f(t) = s)，求某一时刻(t)的瞬时速度。
直接求是不可能的(这辈子都不可能的)，所以考虑用短时间的平均速度来代替瞬时速度。
即 (v = Lim_{Delta t o 0} frac{f(t+Delta t) - f(t)}{Delta t})。
真正把这个函数在坐标轴上画出来可以发现，这个值趋近(t)点的斜率。
这个(v)即(f(t))在(t)点的导数
导数的相关概念
导数(f'(x))即函数(f(x))在(x)点的变化速率。
导数(f'(x))在图形上趋近于函数(f(x))在(x)点的斜率。
多次取导的结果(f^{[n]}(x))称为(f(x))的(n)阶导数。
令(d = Lim_{Delta t o 0} Delta t)，那么(f'(x) = frac{df(x)}{dx})。
移项后就变成了常用的积分求导形式：(df(x) = f'(x) dx)。
我们称(f(x))为(f'(x))的原函数，(f'(x))为(f(x))在(x)点的导数。
常用导数公式
- (C' = 0)
- ((x^a)' = ax^{a-1})
- $sin'(x) = cos(x) $
- (cos'(x) = -sin(x))
- ((a^x)' = a^x ln(a))
- ((e^x)' = e^x)
- (ln'(x) = frac{1}{x})
- (log_y'(x) = frac{1}{x ln(y)})
导数的运算法则
- ([cf(x)]' = cf'(x))
- ([f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x))
- ([f(x) - g(x)]' = f'(x) - g'(x))
- ([f(x)*g(x) ]' = f(x)g'(x) + g(x)f'(x))
- ([frac{f(x)}{g(x)}]' = frac{f'(x)g(x) - g'(x)f(x)}{g^2(x)})
- 令(u = g(x) , [f(g(x))]' = f'(u)*g'(x))
牛顿迭代法
这是多项式相关内容的推导根基。
求解一个函数(f(x) = 0) 的解(x)，咋解？
画图可以发现，先随便选择一个解(x_0)，
我们将每次选择点的斜率直线画出，该直线与(x)轴的交点(x)一定比当前点更接近答案。
斜率直线是啥？导数！
所以(slope = f'(x_0) = frac{f(x_0) - f(x)}{x_0 - x})。
移项后就得到：
不断迭代下去我们就可以找到一个比较精准的解了。
微积分
还是上面那个问题(微分)
一辆车的速度(v)随时间(t)满足(v(t) = F(t) = t^3)，其中(F(t))是一个函数。
如何求(1)秒之内，这辆车的移动距离？
显然对应到数轴上就是(F(x))与(x)轴和(y)轴围成图形的面积。
类似人教版高中物理必修一第二章的匀变速运动推导方法，我们来微分。
把一秒分为([0,frac{1}{n}])、([frac{1}{n},frac{2}{n}])、....、([frac{n-1}{n},1])这样的(n)段。
我们近似的设第(i)段的速度为这一段的起始点时的速度，即(Delta s_i = F(frac{i-1}{n}) * frac{1}{n})
那么(Delta s_i = frac{(i-1)^3}{n^4})。
然后在把(s_i)累加起来，(S = sum_{i=1}^n s_i = frac{1}{n^4} sum_{i=1}^n (i-1)^3)
有公式(sum_{i=0}^{n-1} i^3 = frac{1}{4} n^2(n+1)^2)，所以(S = frac{(n+1)^2}{4n^2} = frac{1}{4} (1 + frac{1}{n})^2)。
显然，(Lim_{n o 0})，所以(S = frac{1}{4}(1 + 0) = frac{1}{4})，求出了答案。
上面这个过程就是微分。
还有吗？(积分)
现在给出这辆车的(s-t)图像(函数(F(x)))，这个图像没有任何规律可言。
现在希望知道，在(1)秒后，这辆车的移动距离是多少。
报告！我秒了这个问题，(S = F(1) - F(0))！
显然这个结果是正确的，因为这是(s-t)图像吗...... 我们来试着用微分思想解决。
还是把时间分为(n)段：([0,frac{1}{n}])、([frac{1}{n},frac{2}{n}])、....、([frac{n-1}{n},1])。
那么答案等于(S = sum_{i=1}^n Delta s_i = sum_{i=1}^n v(frac{i-1}{n})frac{1}{n})。
那么(v(frac{i-1}{n}))等于蛤？ 仔细回顾了一发导数知识，(v(frac{i-1}{n}) = F'(frac{i-1}{n}))。
所以说(S = frac{1}{n} sum_{i=1}^n F'(frac{i-1}{n}))。当(Lim_{n o 0})时，(S = sum_{iin[0,1]} F'(i))。
那个(sum)太丑了，我们把它记为(S = int_{0}^1 F'(x)dx = F(1) - F(0))。这个过程就是积分。
微积分的相关概念
微分运算类似于求导，即将原函数的每部分进行求导。
积分运算为求导的逆运算，(f(x))的积分结果为其原函数(F(x))。
这个运算叫做不定积分，记为(F(x) = int f(x) dx)。
在积分中，记(f(r) - f(l) = |^r_l f(x))
定积分则是求解一个连续区间的(f(x))和，记为(F(x) = int_{l}^r f(x)dx)。
上面的积分的例子中，得到了积分中最重要的牛顿-莱布尼兹公式：
所以说如果要求解(f(x))的定积分，
那么只需要找到它的原函数(F(x))即可，而找原函数又可以用不定积分完成。
常用积分公式
- (int c dx= cx + C)
- (int x^a dx = frac{x^{a+1}}{a+1} + C)
- (int frac{1}{x} dx = ln(|x|) + C)
- (int e^x dx = e^x + C)
- (int a^x dx = frac{a^x}{ln(a)} + C)
- (int cos(x) dx = sin(x) + C)
- (int sin(x) dx = -cos(x) + C)
积分运算法则
- (int f(cx)dx = int frac{1}{c}f(cx)dcx)
- (int cf(x) = cint f(x))
- (int [f(x)+g(x)] = int f(x) + int g(x))
- (int [f(x)-g(x)] = int f(x) - int g(x))
复合函数的积分：
复合函数由于没有基本公式，所以无法进行直接积分。
一般来说，我们需要将复合函数化成基本函数，过程中注意积分对象(dx)的变化。
举个例子：求(int cos^2(mx)dx)
(int cos^2(mx)dx = int cos^2(x) frac{1}{m}dmx = frac{1}{m}int cos^2(mx)dmx)
我们先通过提出系数，使积分对象与积分函数变量一致。
(frac{1}{m}int cos^2(mx)dmx = frac{1}{m} int frac{cos(2mx) + 1}{2} dmx = frac{1}{2m} int cos(2mx) dmx + frac{1}{2} x)
现在积分那个部分是有基本公式的了,所以
(frac{1}{2m} int cos(2mx) dmx = frac{1}{4m} int cos(2mx) d2mx = frac{1}{4m} sin(2mx))。
所以综上，原式(= frac{1}{4m} sin(2mx) + frac{1}{2} x)，然后就化完啦！