manacher算法学习

在一个长度为n的字符串中，找到这个字符串的最长回文长度。

1、n^3做法

枚举回文串的左端点和右端点，从左端点向右端点扫一遍，判断是否是回文。

2、n^2做法

很明显上面的做法浪费了许多判断的时间，若回文串长度是奇数，可以枚举回文串的中点mid，同时向两边扫，找到最长的回文长度，这样可以优化一个n的时间。

若长度是偶数，就找到枚举相邻的两个字符，同时向两边扩展。

3、n做法

那如果n的大小很大，n^2的算法行不通呢？这时就要请manacher出马了。

考虑如何把n^2算法变为n。在枚举回文串的中点时，我们判断了回文串的长度的奇偶性，这样就浪费了时间，且十分麻烦。

所以可以在每个字符串中加上一个原字符串中不会出现的字符（如‘#’），这样就可以将每一个回文串的长度变为奇数。代码如下：

1 void prepare(void) {
2     s[n << 1] = '#';
3       for (int i = n; i ; -- i) {
4         s[i * 2 - 1] = s[i];
5         s[i * 2 - 2] = '#';
6       } 
7     n <<= 1;
8 }

可这还是无法将n^2的算法优化成n。会发现，在枚举每个点为中点时，都要向枚举向两边扩展的长度，这样会浪费许多时间，那么如何利用之前的判断快速进行本次的判断呢。

可以记录下maxright表示之前的扩展可以达到的最右边位置，mid表示maxright所对应的回文串的中心，hw[i]表示以i为回文中心所能扩展出去的最长长度（包括i）。

在枚举中点i时，若i < maxright，如下图（mr是maxright，l是maxright关于mid对称的点，j是i点关于mid对称的点）：

因为j点与i点对称，所以i点的hw值应和j点相同。可是若j点的hw值大于了mr - i，那么便不可以直接进行转移（因为这时i与j不再对称），要暴力计算出余下部分是否对称。

若i > maxright，那么就暴力计算hw[i]，后对maxright和mid进行更新。代码如下：

void manacher(void) {
    prepare();
    maxright = 0; mid = 0; ans = 0;
      for (int i = 0; i <= n; ++ i) {
          if (i < maxright) { //取出相同的部分 
              hw[i] = min(hw[mid * 2 - i], maxright - i);
          }
        else hw[i] = 1;
        while (0 <= i - hw[i] && i + hw[i] <= n && s[i + hw[i]] == s[i - hw[i]]) hw[i] ++; //暴力计算hw值 
        if (i + hw[i] > maxright) { //更新maxright和mid 
          maxright = i + hw[i] - 1;
          mid = i;
        }
      } 
}

放一道模板题：hdu3068 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3068

代码如下：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int maxn = 110005;
int hw[maxn << 1],maxright,mid,ans,n;
char s[maxn << 1];

void prepare(void) {
    s[n << 1] = '#';
      for (int i = n; i ; -- i) {
        s[i * 2 - 1] = s[i];
        s[i * 2 - 2] = '#';
      } 
    n <<= 1;
}

void manacher(void) {
    prepare();
    maxright = 0; mid = 0; ans = 0;
      for (int i = 0; i <= n; ++ i) {
          if (i < maxright) { 
              hw[i] = min(hw[mid * 2 - i], maxright - i);
          }
        else hw[i] = 1;
        while (0 <= i - hw[i] && i + hw[i] <= n && s[i + hw[i]] == s[i - hw[i]]) hw[i] ++;
        if (i + hw[i] - 1 > maxright) { 
          maxright = i + hw[i] - 1;
          mid = i;
        }
      } 
      for (int i = 1; i <= n; ++i) 
        ans = max(ans, hw[i] - 1);
}

int main() {
    while (scanf("%s",s + 1) != EOF) {
      memset(hw, 0, sizeof(hw));
      n = strlen(s + 1);
      manacher();
      printf("%d
", ans);
    }
    return 0;
}