[算法模版]树的重心和直径
树的重心
定义
以树的重心为根时，所有的子树（不算整个树自身）的大小都不超过整个树大小的一半。
找到一个点，其所有的子树中最大的子树节点数最少，那么这个点就是这棵树的重心。
删去重心后，生成的多棵树尽可能平衡。
性质
树中所有点到某个点的距离和中，到重心的距离和是最小的；如果有两个重心，那么他们的距离和一样。
把两棵树通过一条边相连得到一棵新的树，那么新的树的重心在连接原来两个树的重心的路径上。
在一棵树上添加或删除一个叶子，那么它的重心最多只移动一条边的距离。
求法
树的重心可以通过简单的两次搜索求出。
- 第一遍搜索求出以每个节点为根的子树中结点数量 (sz_{u})
- 第二遍搜索找出使 (max_{vinoperatorname{son}(u)}{n-sz_{u},sz_{v}}) 最小的节点 (u) 。
实际上这两步操作可以在一次遍历中解决。对节点 u 的每一个儿子 v 递归处理，然后以 (sz_{v}) 更新 (u) 的子节点子树节点数最大值，处理完所有子结点后，判断 u 是否为重心。
（代码来自叉姐）
struct CenterTree {
int n;
int ans;
int siz;
int son[maxn];
void dfs(int u, int pa) {
son[u] = 1;
int res = 0;
for (int i = head[u]; ~i; i = edges[i].next) {
int v = edges[i].to;
if (v == pa) continue;
dfs(v, u);
son[u] += son[v];
res = max(res, son[v]);
}
res = max(res, n - son[u]);
if (res < siz) {
ans = u;
siz = res;
}
}
int getCenter(int x) {
ans = 0;
siz = INF;
dfs(x, -1);
return ans;
}
}
参考
http://fanhq666.blog.163.com/blog/static/81943426201172472943638/
https://www.cnblogs.com/zinthos/p/3899075.html
树的直径
定义
树的直径指树上的最长简单路径
求法
随意寻找一个点(u)进行(BFS)，找到的最远点一定为直径的一个端点(s)。再从(s)开始(BFS)，找到的最远点一定是直径的另一个端点(t)。
证明
参考资料
