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题目大意:
设 (f(x)) 表示 (x) 的各个数位之和。
给定一个正整数 (a)，请您找到 (l,r) 满足 (sumlimits_{i=l}^r f(i)equiv0pmod{a})。
(1leq l,rleq 10^{200})，(1leq aleq10^{18})。
正文：
是道神仙题。首先有一个显而易见的性质：当 (f(x)=x) 时，(f(x+10^{18})=x+1)（这里加上 (10^{18}) 是因为这是 (a) 的上界）。
那么当 (sumlimits_{i=0}^{10^{18}-1}f(i)equiv xpmod{a})，则有：
[sumlimits_{i=1}^{10^{18}}f(i)equiv x+1pmod{a}
]
以此类推得到：
[sumlimits_{i=a-x}^{10^{18}-1+a-x}f(i)equiv x+a-xequiv 0pmod{a}
]
所以我们可以得到一组 ([a-x,10^{18}-1+a-x]) 的解。接下来的问题就可以转化到如何求 (sumlimits_{i=0}^{10^{18}-1}f(i)) 了。
然后根据初赛知识，这个玩意可以递归求得。
先设函数 (F(x)=sum_{i=0}^{10^x-1}f(i))，它可以这么递归：
[F(x)=left{egin{matrix}
45&(x=1)\
45 imes10^{x-1}+10F(x-1)&(x>1)
end{matrix}
ight.]
然后就可以暴力实现了：
ll qpow(ll a, int b)
{
ll ans = 1;
for (; b; a *= a, b >>= 1)
if(b & 1) ans *= a;
return ans;
}
ll F(int x)
{
return x == 1? 45ll: 45ll * qpow(10, x - 1) + 10ll * F(x - 1);
}
int main()
{
printf ("%lld
", F(17));
return 0;
}
这里直接算 (F(18)) 会溢出，所以先算出 (F(17)=7.65 imes10^{18})，然后用电脑上自带的计算器得到 (F(18)=8.1 imes 10^{19})。于是便得到了答案。
代码：
ll n, inf = 1e18;
int main()
{
scanf ("%lld", &n);
ll l = n - inf % n * 9 % n * 9 % n, r = inf + l - 1; //注意这里直接乘81会溢出，所以乘两遍9。
printf ("%lld %lld
", l, r);
return 0;
}