简介
组合数学（Combinatorial mathematics），又称为离散数学。
广义的组合数学就是离散数学，狭义的组合数学是离散数学除图论、代数结构、数理逻辑等的部分。
总之，组合数学是一门研究离散对象的数学科学。
排列组合
排列就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序；组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。
加法 & 乘法原理
加法原理
对于一件一定可以完成的事情，完成它有 (n) 类方式，第一类方式有 (M_1) 种方法，第二类方式有 (M_2) 种方法，(cdots) ，第 (n) 类方式有 (M_n) 种方法，那么完成这件事情共有 (M_1 + M_2 + cdots + M_n) 种方法。
例如说，你要去 AK IOI 啦！ 某场比赛分为若干类分赛， AK 总赛的条件是 AK 任意一类分赛，而每类分赛都有许多种 AK 的方法，则你能够 AK IOI 的方法数量就是 AK 各类分赛的方法数量之和。
加法原理又可以写作
其中 (S) 表示完成这项工作总的方案数， (a_i) 表示每种方案的数量。
乘法原理
对于一件一定可以完成的事情，完成它共需 (n) 步，第一步共有 (M_1) 种方法，第二步共有 (M_2) 种方法， (cdots) ，第 (n) 步共有 (M_n) 种方法，那么完成这件事共有 (M_1 imes M_2 imes cdots imes M_n) 种方法。
又例如说，你还要去 AK IOI 又有某场比赛分为若干类分赛， 而这次 AK 总赛的条件是 AK 所有分赛，而每类分赛都有若干种 AK 的方法，则你能够 AK IOI 的方法数量就是 AK 每类分赛的数量之积。
乘法原理又可以写作
其中 (S) 表示完成这项工作总的方案数， (a_i) 表示每种方案的数量。
排列数
从 (n) 个不同元素中，任取 (m ( m leq n, m) 与 (n) 均为自然数 ()) 个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从 (n) 个不同元素中取出 (m) 个元素的一个排列；从 (n) 个不同元素中取出 (m(m leq n)) 个 元素的所有排列的个数，叫做从 (n) 个不同元素中取出 (m) 个元素的排列数，记作 (A_{n}^{m})（或者是 (P _{n}^{m})）。
排列和组合是基于加法原理和乘法原理得出。
排列的计算公式为
其中
| (A) | 排列数 |
| (n) | 元素的总数 |
| (m) | 选择的元素数 |
| (n!) | (n) 的阶乘 |
注：
-
上式中当 (n=m) 时所有的排列情况叫做 全排列 。
-
排列与元素的顺序有关，组合与顺序无关。
组合数
从 (n) 个不同元素中，任取 (m(m leq n)) 个元素组成一个集合，叫做从 (n) 个不同元素中取出 (m) 个元素的一个组合; 从 (n) 个不同元素中取出 (m(m leq n)) 个元素的所有组合的个数，叫做从 (n) 个不同元素中取出 (m) 个元素的组合数，记作 (C _{n}^{m}) 或 (left(egin{array}{l}n \ mend{array} ight)) （目前数学界普遍采用后者的原因知识由于它表意更清晰，更美观便捷。
组合的计算公式为
其中
| (C) | 组合数 |
| (n) | 元素的总数 |
| (m) | 选择的元素数 |
| (n!,m!) | (n,m) 的阶乘 |
二项式定理
组合数也被称为 二项式系数 ，是定义为形如 ((1 + x)^n) 展开后 (x) 的系数（其中 (n) 为自然数，(k) 为整数）。
展开式
由归纳法得
由此拓展开得
其中的
| (n) | 正整数 |
| (x_i) | 实数 |
| (left(egin{array}{c}n \ n_{1}, n_{2}, cdots, n_{t}end{array} ight)) | 多项式系数 |
性质则有
未完待续~